1.3.2奇偶性第一课时函数奇偶性的定义与判定【选题明细表】知识点、方法题号易中奇偶性的概念4奇偶函数的图象特征2、58奇偶性的判定1、39、10奇偶性的应用6、7基础达标1.(年高考广东卷)下列函数为偶函数的是(D)(A)y=sinx(B)y=x3(C)y=ex(D)y=ln解析:本小题主要考查函数的奇偶性,y=sinx为奇函数,y=x3为奇函数,y=ex为非奇非偶函数,y=ln定义域为R,满足f(-x)=f(x),为偶函数.2.函数f(x)=-x的图象关于(C)(A)y轴对称(B)直线y=-x对称(C)坐标原点对称(D)直线y=x对称解析:∵f(x)=-x(x≠0),∴f(-x)=-+x=-f(x),∴f(x)为奇函数,所以f(x)=-x的图象关于原点对称.故选C.3.(福建四地六校第一次联考)下列函数是偶函数的是(A)(A)y=2x2-3(B)y=x3(C)y=x2,x∈[0,1](D)y=x解析:对A:f(-x)=2(-x)2-3=2x2-3=f(x),∴f(x)是偶函数,B、D都为奇函数,C中定义域不关于原点对称,函数不具备奇偶性,故选A.4.对于定义域是R的任意奇函数f(x),都有(C)(A)f(x)-f(-x)>0(B)f(x)-f(-x)≤0(C)f(x)·f(-x)≤0(D)f(x)·f(-x)>0解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)·f(-x)=-[f(x)]2,又∵f(0)=0,∴-[f(x)]2≤0,故选C.5.下列结论中正确的是(B)(A)偶函数的图象一定与y轴相交(B)奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0(C)奇函数y=f(x)图象一定过原点(D)图象过原点的奇函数必是单调函数解析:A项中若定义域不含0,则图象与y轴不相交,C项中定义域不含0,则图象不过原点,D项中奇函数不一定单调,故选B.6.(年高考辽宁卷)若函数f(x)=为奇函数,则a等于(A)(A)(B)(C)(D)1解析:法一∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴=-,即(2x-1)(x+a)=(2x+1)(x-a)恒成立,整理得(2a-1)x=0,∴必须有2a-1=0,∴a=.故选A.法二由于函数f(x)是奇函数,所以必有f(-1)=-f(1),即=-,即1+a=3(1-a),解得a=,故选A.7.(河北师大附中高新校区高一第一次阶段考试)设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,则f(-2)+f(0)=.解析:由题意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0,∴f(-2)+f(0)=-5.答案:-5能力提升8.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域是[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式<0的解集是.解析:由于y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,根据奇、偶函数图象对称性画出y=f(x),y=g(x)在区间[-3,0]上的图象如图所示,所以<0等价于或由图可得其解集是{x|-20,∴f(x)==,∵f(-x)==-=-f(x),∴f(x)为奇函数.(1)易错解为:f(-x)=(-x)-2+(-x)2=x-2+x2=f(x),∴f(x)为偶函数.(2)由于没有化简解析式,难以得出f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),从而错解为非奇非偶函数.以上错解原因为没有“”树立定义域优先的意识.10.(河南中原名校期中联考)已知函数y=f(x)(x∈R)对任意实数x,y,有f(x)+f(y)=2f()·f()恒成立,且f(0)≠0,(1)求f(0)的值;(2)试判断函数y=f(x)(x∈R)的奇偶性.解:(1)令x=y=0,∴2f(0)=2f(0)·f(0).∴f(0)=0或f(0)=1,而f(0)≠0,∴f(0)=1.(2)令y=-x,∴f(x)+f(-x)=2[f(0)·f(x)],由(1)知f(0)=1,∴f(-x)=f(x).∵f(x)的定义域为R,∴f(x)为偶函数.对于抽象函数奇偶性的判断,由于无具体的解析式,要充分利用给定的关系式,对变量进行赋值,使其成为含有f(x)、f(-x)的式子,从而利用奇偶性定义加以判断.
