【成才之路】-学年高中数学2.3.2向量数量积的运算律基础巩固新人教B版必修4一、选择题1．若|a|＝3，|b|＝，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝()A．3B．C．21D．[答案]D[解析] |a|＝3，|b|＝，a与b的夹角为，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×3××cos＋3＝9＋2×3××＋3＝21，∴|a＋b|＝.2．(·安徽宿州朱仙庄煤矿中学高一月考)向量a、b满足|a|＝1，|b|＝，(a＋b)⊥(2a－b)，则向量a与b的夹角为()A．45°B．60°C．90°D．120°[答案]C[解析] (a＋b)⊥(2a－b)，∴(a＋b)·(2a－b)＝0，∴2a2＋a·b－b2＝0.∴2×1＋1××cos〈a，b〉－2＝0，∴cos〈a，b〉＝0，∴〈a，b〉＝90°.3．设a、b、c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2等于()A．1B．2C．4D．5[答案]D[解析] a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴c2＝|c|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＝5，故选D.4．已知两个非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b[答案]B[解析]本题考查向量的运算．由题意知|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b－b2，∴a·b＝0，∴a⊥b.注意：|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.5．下列各式中正确命题的个数为()①(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)，(λ∈R)；②|a·b|＝|a|·|b|；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c；④(a·b)·c＝a·(b·c)．A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]①、③正确，②、④错误．6．已知非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b||a|，则a＋b与a－b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°[答案]B[解析]将|a＋b|＝|a－b|两边平方得，a·b＝0，将|a－b|＝|a|两边平方得，|b|2＝|a|2，∴cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝，∴〈a＋b，a－b〉＝60°.二、填空题7．已知单位向量e1、e2的夹角为60°，则|2e1－e2|＝________.[答案][解析] |e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°，∴e1·e2＝|e1||e2|·cos60°＝.∴|2e1－e2|＝＝＝＝.8．已知两个单位向量e1、e2的夹角为120°，且向量a＝e1＋2e2，b＝4e1，则a·b＝________.[答案]0[解析] |e1|＝|e2|＝1，向量e1与e2的夹角为120°，∴a·b＝(e1＋2e2)·(4e1)＝4e＋8e1·e2＝4＋8×1×1×cos120°＝4＋8×1×1×(－)＝0.三、解答题9．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝2a－3b，d＝ma＋b，若c⊥d，求实数m的值．[解析]a·b＝|a||b|cos60°＝1.因为c⊥d，所以c·d＝0，即(2a－3b)·(ma＋b)＝2ma2＋(2－3m)a·b－3b2＝2m－12＋2－3m＝0，解得m＝－10.一、选择题1．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．以上都不对[答案]C[解析]由(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0得CB·(AB＋AC)＝0又 CB＝AB－AC，∴(AB－AC)·(AB＋AC)＝0即|AB|2－|AC|2＝0∴|AB|＝|AC|，∴△ABC为等腰三角形．2．已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则a与b的夹角是()A．30°B．45°C．90°D．135°[答案]B[解析] a·(a－b)＝0，∴a2＝a·b，∴cos
＝＝＝，∴＝45°.3．已知a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝，则a·b＋b·c＋c·a的值为()A．7B．C．－7D．－[答案]D[解析] (a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋4＋2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－.4．已知|a|＝|b|＝1，a⊥b，(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k等于()A．－6B．6C．3D．－3[答案]B[解析](2a＋3b)·(ka－4b)＝0，2k|a|2－8a·b＋3ka·b－12|b|2＝0. |a|＝|b|＝1，a·b＝0，∴2k－12＝0，k＝6.二、填空题5．已知点O是△ABC内的一点，且OA·OB＝OB·OC＝OA·OC，则点O是△ABC的________．(填：外心、内心、重直、重心)[答案]垂心[解析] OA·OB＝OB·OC，∴OB·(OA－OC)＝0，即OB·CA＝0，∴OB⊥CA.同理：OC·AB＝0，OA·CB＝0，∴O为△ABC的垂心．6．关于平面向量a、b、c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c.②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3.③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)[答案]②[解析]①a·b＝a·c时，a·(b－c)＝...
