【成才之路】-学年高中数学2.5简单复合函数的求导法则基础巩固北师大版选修2-2一、选择题1．函数y＝xln(2x＋5)的导数为()A．ln(2x＋5)－B．ln(2x＋5)＋C．2xln(2x＋5)D.[答案]B[解析]y′x＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.2．已知f(x)＝sin2x＋sinx，那么f′(x)()A．是仅最小值的奇函数B．是既有最大值又有最小值的偶函数C．是仅有最大值的偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数[答案]B[解析]f′(x)＝(sin2x＋sinx)′＝(sin2x)′＋(sinx)′＝cos2x·(2x)′＋cosx＝cos2x＋cosx.因为f′(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2(cosx＋)2－，又－1≤cosx≤1，所以函数f′(x)既有最大值又有最小值．因为f′(－x)＝cos(－2x)＋cos(－x)＝cos2x＋cosx＝f(x)，所以f′(x)是偶函数．故选B.3．(·全国大纲理，7)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．2D．1[答案]C[解析]本题考查了导数的应用和直线方程．点(1,1)在曲线上，对y求导得y＝ex－1＋xex－1，所以在点(1,1)处的切线的斜率为k＝2.曲线上某一点的导函数值，就是过该点的切线的斜率．二、填空题4．(·三亚市一中月考)曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．[答案]2－1[解析]y′|x＝1＝－|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1.5．曲线y＝sin3x在点P(，0)处的切线方程为____．[答案]3x＋y＝π[解析]y′x＝cos3x·(3x)′＝cos3x·3＝3cos3x.∴曲线y＝sin3x在点P(，0)处的切线斜率为3cos(3×)＝－3，∴切线方程为y＝－3·(x－)，即3x＋y＝π.三、解答题6．求下列函数的导数：(1)y＝e3x；(2)y＝cos42x－sin42x.[解析](1)引入中间变量u＝φ(x)＝3x，则函数y＝e3x是由函数f(u)＝eu与u＝φ(x)＝3x复合而成的．查导数公式表可得f′(u)＝eu，φ′(x)＝3.根据复合函数求导法则可得(e3x)′＝f′(u)φ′(x)＝eu·3＝3e3x.(2)y＝cos42x－sin42x＝(cos22x＋sin22x)(cos22x－sin22x)＝cos4x.引入中间变量u＝φ(x)＝4x，则函数y＝cos4x是由函数f(u)＝cosu与u＝φ(x)＝4x复合而成的．查导数公式表可得f′(u)＝－sinu，φ′(x)＝4.根据复合函数求导法则可得(cos42x－sin42x)′＝(cos4x)′＝f′(u)φ′(x)＝－sinu·4＝－4sin4x.一、选择题1．若函数f(x)＝3cos(2x＋)，则f′()等于()A．－3B．3C．－6D．6[答案]B[解析]f′(x)＝－6sin(2x＋)，∴f′()＝－6sin(π＋)＝6sin＝3.2．函数y＝cos2x＋sin的导数为()A．－2sin2x＋B．2sin2x＋C．－2sin2x＋D．2sin2x－[答案]A[解析]y′x＝(cos2x＋sin)′＝(cos2x)′＋(sin)′＝－sin2x·(2x)′＋cos·()′＝－2sin2x＋.3．y＝log3cos2x的导数是()A．－2log3e·tanxB．2log3e·cotxC．－2log3cosxD.[答案]A[解析]y′＝log3e·(cos2x)′＝log3e·2cosx·(cosx)′＝log3e·2cosx(－sinx)＝－2log3e·tanx.4．已知f(x)＝x2＋2f′·x，则f′＝()A.B．－C．0D．无法确定[答案]A[解析] f(x)＝x2＋2f′·x，∴f′(x)＝2x＋2f′，∴f′＝2×＋2f′，∴f′＝－2×＝，即f′＝.5．(·山西六校联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)()A．e－1B．－1C．－e－1D．－e[答案]C[解析] f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋，∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故选C.二、填空题6．f(x)＝，且f′(1)＝1，则a的值为________．[答案]2[解析] f′(x)＝·(ax－1)′＝，∴f′(1)＝＝1.解得a＝27．(·江苏，11)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．[答案]－3[解析]曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)，则4a＋＝－5①又y′＝2ax－，所以4a－＝－②由①②解得所以a＋b＝－3.函数在某点处的导数值即为经过改点的切线的斜率．三、解答题8．求f(x)＝x2·e2x的导数．[分析]先用两个函数相乘的求导法则，再由复合函数求导法则求解．[解析]f′(x)＝(x2)′e2x＋x2·(e2x)′＝2xe2x＋x2·(e2x)·...
