【成才之路】-学年高中数学3.1第1课时变化率问题与导数的概念练习新人教A版选修1-1一、选择题1．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中．平均变化率最大的是()A．④B．③C．②D．①[答案]B[解析]①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.2．已知函数y＝，当x由2变为1.5时，函数的增量为()A．1B．2C．D．[答案]C[解析]Δy＝－＝.3．设函数f(x)在x＝1处存在导数，则lim＝()A．f′(1)B．3f′(1)C．f′(1)D．f′(3)[答案]C[解析]lim＝lim＝f′(1)．4．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为()A．4＋4t0B．0C．8t0＋4D．4t0＋4t[答案]C[解析]Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，＝4Δt＋4＋8t0，lim＝lim(4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.5．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b[答案]C[解析]∵f′(x0)＝lim＝lim＝lim(a＋bΔx)＝a.∴f′(x0)＝a.6．函数y＝x＋在x＝1处的导数是()A．2B．C．1D．0[答案]D[解析]Δy＝(Δx＋1)＋－1－1＝Δx＋，＝1－，lim＝lim＝1－1＝0，∴函数y＝x＋在x＝1处的导数为0.二、填空题7．函数y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为________．[答案]－[解析]∵Δy＝－，∴y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为＝＝－.8．若f′(x0)＝2，则lim的值为________．[答案]－1[解析]lim＝－lim＝－f′(x0)＝－×2＝－1.9．已知函数f(x)＝2x－3，则f′(5)＝________.[答案]2[解析]∵Δy＝f(5＋Δx)－f(5)＝[2(5＋Δx)－3]－(2×5－3)＝2Δx，∴＝2，∴f′(5)＝lim＝2.三、解答题10．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度．[解析]由于Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)＝3Δt－4Δt－Δt2＝－Δt－Δt2，∴＝＝－1－Δt.∴v＝lim＝lim(－1－Δt)＝－1.∴物体在t＝2时的瞬时速度为－1.一、选择题11．一个物体的运动方程是s＝2t2＋at＋1，该物体在t＝1的瞬时速度为3，则a＝()A．－1B．0C．1D．7[答案]A[解析]Δs＝2(1＋Δt)2＋a(1＋Δt)＋1－(2＋a＋1)＝Δt2＋(4＋a)Δt，由条件知lim＝lim(Δt＋4＋a)＝4＋a＝3，∴a＝－1.12．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于()A．6＋ΔtB．12＋Δt＋C．12＋2ΔtD．12[答案]C[解析]＝＝12＋2Δt.13．f(x)在x＝a处可导，则lim等于()A．f′(a)B．f′(a)C．4f′(a)D．2f′(a)[答案]D[解析]lim＝lim＝lim＋lim＝f′(a)＋f′(a)＝2f′(a)．二、填空题14．若f′(x)＝3，则lim＝________.[答案]6[解析]lim＝lim2·＝2lim＝2f′(x)＝6.15．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________．[答案][解析]∵Δy＝π×23－π×13＝，∴＝＝.三、解答题16．求导数f(x)＝3x－在x＝1处的导数．[解析]Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)－－1＝2＋3Δx－＝3Δx＋，＝＝3＋，∴lim＝lim(3＋)＝5，∴f′(1)＝5.17．一物体的运动方程如下：(单位：m，时间：s)s＝.求：(1)物体在t∈[3,5]时的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．[解析](1)∵物体在t∈[3,5]时的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]时的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t∈[3,5]时的平均速度为＝＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵物体在t＝0附近的平均变化率为＝＝＝3Δt－18，∴物体在t＝0处的瞬时变化率为lim＝lim(3Δt－18)＝－18，即物体的初速度为－18m/s.(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．∵物体在t＝1附近的平均变化率为＝＝＝3Δt－12，∴物体在t＝1处的瞬时变化率为lim＝lim(3Δt－12)＝－12，即物体在t＝1时的瞬时速率为－12m/s.
