【成才之路】-学年高中数学3.1第1课时椭圆及其标准方程基础达标北师大版选修2-1一、选择题1．命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0为常数)；(2)命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分又不必要条件[答案]B[解析]若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)，是不能推出P点轨迹是椭圆的．这是因为仅当2a>|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹，所以甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．2．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是()A．9B．12或4C．9或7D．20[答案]C[解析]2c＝2，c＝1，故有m－8＝1或8－m＝1，∴m＝9或m＝7，故选C.3．已知△ABC的两个顶点的坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为()A．＋＝1B．＋＝1(y≠0)C．＋＝1(y≠0)D．＋＝1(y≠0)[答案]D[解析]顶点C到两个定点A，B的距离和为18－8＝10>8，由椭圆的定义可得轨迹方程．二、填空题4．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．[答案]2120°[解析]考查椭圆定义及余弦定理．由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝2，cos∠F1PF2＝＝＝－.∴∠F1PF2＝120°.5．动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)距离之和为8，则点P的轨迹方程为________．[答案]＋＝1[解析] |AB|＝4<8，∴P点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，∴c＝2，又由条件知a＝4，∴b2＝a2－c2＝12， 焦点在y轴上，∴椭圆方程为＋＝1.三、解答题6．根据下列条件，求椭圆的标准方程：(1)坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B；(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．[解析](1)设所求椭圆的方程为＋＝1(m>0，n>0且m≠n)， 椭圆过A(0,2)，B.∴，解得，即所求椭圆方程为x2＋＝1.(2) 椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，±)，则可设所求椭圆方程为＋＝1(m>0)，又椭圆经过点(2，－3)，则有＋＝1，解得m＝10或m＝－2(舍去)，即所求椭圆的方程为＋＝1.[点评]1.求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为＋＝1(m>0，n>0且m≠n)．再根据条件确定m、n的值．2．当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)．将点的坐标代入解方程组求得系数．一、选择题1．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(0,2)C．(1，＋∞)D．(0,1)[答案]D[解析]先将方程x2＋ky2＝2变形为＋＝1.要使方程表示焦点在y轴上的椭圆，需＞2，即00，B>0)由题意得，解得.3．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为()A．B．3C．D．[答案]D[解析]a2＝16，b2＝9⇒c2＝7⇒c＝. △PF1F2为直角三角形．且b＝3＞＝c.∴P是横坐标为±的椭圆上的点．设P(±，|y|)，把x＝±代入椭圆方程，知＋＝1⇒y2＝⇒|y|＝.4．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m－n，椭圆的焦点在y轴上，排除B、D，又n>m，∴无意义，排除A，故选C.5．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的()A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍[答案]A[解析]不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)，由条件知P(3，±)，即|PF2|＝，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|PF1|＝，|PF2|＝，即|PF1|＝7|PF2|.二、填空题6．已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.[答案]3[解析]本题考查椭圆的定义及整体代换的数学思想．由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2，又 PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2...
