1.2第3课时一、选择题1．(09·陕西文)若tanα＝2，则的值为()A．0B.C．1D.[答案]B[解析]原式＝＝，故选B.2．已知sinα、cosα是方程3x2－2x＋a＝0的两根，则实数a的值为()A.B．－C.D.[答案]B[解析]由Δ≥0知，a≤.又由(1)2得：sinαcosα＝－，∴＝－，∴a＝－.3．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于()A．2B．－2C．2或－2D．0[答案]D[解析]解法一：∵α的终边在直线y＝－x上，∴tanα＝－1，∴原式＝＋，(1)当α在第二象限时，原式＝－tanα＋tanα＝0；(2)当α在第四象限时，原式＝tanα－tanα＝0.解法二：∵角α的终边在直线y＝－x上，∴α＝kπ－(k∈Z)，∴sinα与cosα符号相反，∴＋＝＋＝0.4．已知＝2，那么(cosθ＋3)(sinθ＋1)的值为()A．6B．4C．2D．0[答案]B[解析]由＝2得，sin2θ＋4＝2cosθ＋2，∴cos2θ＋2cosθ－3＝0，∴cosθ＝1或－3，∵|cosθ|≤1，∴cosθ＝1，∴sinθ＝0，∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4.5．已知α是第四象限角，tanα＝－，则sinα＝()A.B．－C.D．－[答案]D[解析]不妨设α对应的锐角为α′，tanα′＝，构造直角三角形如图，则|sinα|＝sinα′＝，∵α为第四象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－.[点评]已知角α的某三角函数值，求α的其它三角函数值时，可先判定其符号，然后构造直角三角形求其绝对值．如cosα＝－，α为第三象限角，求sinα的值时，由于sinα<0，构造直角三角形，如图可知|sinα|＝，∴sinα＝－.6．若sinα＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α＝()A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]sinα＝1－sin2α＝cos2α，∴原式＝sinα＋sin2α＝1.7．若α∈[0,2π)且＋＝sinα－cosα，则α的取值范围是()A.B.C.D.[答案]B[解析]∵＋＝|sinα|＋|cosα|＝sinα－cosα，∴，故选B.8．(08·浙江理)若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝()A.B．2C．－D．－2[答案]B[解析]解法一：将已知等式两边平方得cos2α＋4sin2α＋4sinαcosα＝5(cos2α＋sin2α)，化简得sin2α－4sinαcosα＋4cos2α＝0，即(sinα－2cosα)2＝0，故tanα＝2.解法二：设tanα＝k，则sinα＝kcosα代入cosα＋2sinα＝－中得cosα＝－，∴sinα＝－代入sin2α＋cos2α＝1中得，＋＝1，∴k＝2.二、填空题9．已知sinθ－cosθ＝，则sin3θ－cos3θ＝________.[答案][解析]∵sinθ－cosθ＝，∴sinθ·cosθ＝，∴sin3θ－cos3θ＝(sinθ－cosθ)(sin2θ＋sinθcosθ＋cos2θ)＝＝.10．已知cos＝，0<α<，则sin＝________.[答案][解析]由已知<α＋<，∴sin>0，∴sin＝＝.11．化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.[答案]1[解析]原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1.12．已知sinθ＝，cosθ＝，则tanθ＝________.[答案]－或－[解析]由sin2θ＋cos2θ＝1得，m＝0或8，m＝0时，sinθ＝－，cosθ＝，tanθ＝－，m＝8时，sinθ＝，cosθ＝－，tanθ＝－.[点评]本题易错点为直接由tanθ＝给出一个关于m的表达式或者求解关于m的方程时，将零因子约掉只得出m＝8.三、解答题13．已知α是第三象限角，化简－.[解析]原式＝－＝－＝－∵α是第三角限角，∴cosα<0，∴原式＝－＝－2tanα.14．已知α∈，2tanα＋3sinβ＝7，且tanα－6sinβ＝1，求sinα的值．[解析]由2tanα＋3sinβ＝7⇒4tanα＋6sinβ＝14①又tanα－6sinβ＝1②①＋②解得tanα＝3，又由1＋tan2α＝得，cos2α＝＝＝，则sin2α＝1－cos2α＝.∵0<α<，∴sinα＝.15．化简.[解析]＝＝＝＝－1.16．已知tanα＝，求下列各式的值．(1)＋；(2)；(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α.[解析](1)＋＝＋＝＋＝.(2)＝＝＝.(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α＝＝＝＝.17．已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，求值：(1)tanθ；(2)sin3θ＋cos3θ.[解析]∵sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，平方得：sinθcosθ＝－<0，∴sinθ>0，cosθ<0，且sinθ，cosθ是方程x2－x－＝0的两根．解方程得x1＝，x2＝－，∴sinθ＝，cosθ＝－.∴(1)tanθ＝－，(2)sin3θ＋cos3θ＝.
