【成才之路】-学年高中数学3.2第2课时抛物线的简单性质基础达标北师大版选修2-1一、选择题1．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点()A．(4,0)B．(2,0)C．(0,2)D．(0，－2)[答案]B[解析] 圆心到直线x＋2＝0的距离等于到抛物线焦点的距离，∴定点为(2,0)．2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A．B．C．D．2[答案]C[解析]本题考查了抛物线的定义、三角形面积的求法及数形结合的应用．设∠AFx＝θ(0<θ<π)及|BF|＝m；由点A到准线l：x＝－1的距离为3，得：3＝2＋3cosθ⇔cosθ＝，又m＝2＋mcos(π－θ)⇔m＝＝，△AOB的面积为S＝×|OF|×|AB|×sinθ＝×1×(3＋)×＝.故选C.在解决解析几何有关问题时，要加强与图形的结合，合理的选取方法求解．3．(·新课标Ⅰ文，8)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A．2B．2C．2D．4[答案]C[解析]设P点坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋＝4，x0＝3，代入抛物线的方程，得|y0|＝2，S△POF＝|y0|·|OF|＝2，选C.二、填空题4．下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽__________________米．[答案]2[解析]本题考查了抛物线的标准方程与数学建模能力．设抛物线方程为x2＝－2py，代入P(2，－2)得2p＝2，∴x2＝－2y，当y＝－3时，x2＝6，∴x＝±，则此时水面宽为2米，建立平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题．5．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．[答案][解析]由条件B(，1)代入y2＝2px得1＝2p×，∴p2＝2，∴p＝，∴B(，1)，故d＝.三、解答题6．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB.(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．[分析](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用平面解析几何的知识证kOA·kOB＝－1，从而证得OA⊥OB.(2)设直线AB和x轴的交点为N，利用S△OAB＝|ON|·|y1－y2|求k的值．[解析](1)证明：如图所示，由方程组消去x后，整理，得ky2＋y－k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1y2＝－1. A，B在抛物线y2＝－x上，∴y＝－x1，y＝－x.∴y·y＝x1x2.∴kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB.(2)设直线AB与x轴交于点N，显然k≠0.令y＝0，则x＝－1，即N(－1,0)． S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON|·|y1－y2|，∴S△OAB＝·1·＝. S△OAB＝，∴＝.解得k＝±.一、选择题1．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点(－2,3)的抛物线方程是()A．y2＝xB．x2＝yC．y2＝－x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝y[答案]D[解析] 点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴9＝4p，p＝，4＝6p′，p′＝.2．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()A．4B．8C．8D．16[答案]B[解析]考查抛物线定义设A(－2，y)F(2,0)，∴KAF＝＝－，∴y＝4，∴yp＝4， P在抛物线上，∴y＝8xp，∴xp＝＝＝6.由抛物线定义可得|PF|＝|PA|＝xp－xA＝6－(－2)＝8，故选B.3．(·新课标Ⅰ理)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|＝()A．B．3C．D．2[答案]B[解析]本题考查抛物线的性质、向量的知识以及三角形的相似．设抛物线的焦点坐标是F(2,0)，过点Q作抛物线的准线的垂线垂足是A，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x轴的交点为G，因为FP＝4FQ，则点Q是PF的三等分点，由于三角形QAP与三角形FGP相似，所以可得＝＝，所以|QA|＝|QF|＝3.4．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|等于()A．9B．6C．4D．3[答案]B[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由题知F(1,0)， FA＋FB＋FC＝0，∴x1＋x2＋x3＝3， 抛物线的准线为x＝－1，∴根据抛物线定义得，|FA|＋|FB|＋|FC|＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝3＋3＝6.5．若...
