2.3第3课时一、选择题1．(·烟台市诊断)已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是()A．6B．－6C．9D．12[答案]A[解析] a∥b，∴＝，∴x＝6.2．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于()A.B.C．－D．－[答案]A[解析] AD＝2DB，∴AD＝AB，∴CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB＝CA＋λCB，∴λ＝，故选A.3．已知点A、B的坐标分别为(2，－2)、(4,3)，向量p的坐标为(2k－1,7)，且p∥AB，则k的值为()A．－B.C．－D.[答案]D[解析]由A(2，－2)，B(4,3)得，AB＝(2,5)，而p＝(2k－1,7)，由平行的条件x1y2－x2y1＝0得，2×7－(2k－1)×5＝0，∴k＝，选D.4．(·湖南长沙)已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈[0∞，＋)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．垂心C．内心D．重心[答案]D[解析]设AB＋AC＝AD，则可知四边形BACD是平行四边形，而AP＝λAD表明A、P、D三点共线．又D在BC的中线所在直线上，于是点P的轨迹一定通过△ABC的重心．5．已知a＝(2,1)，b＝(x，－2)且a＋b与2a－b平行，则x等于()A．－6B．6C．－4D．4[答案]C[解析] (a＋b)∥(2a－b)．又a＋b＝(2＋x，－1),2a－b＝(4－x,4)，∴(2＋x)×4－(－1)×(4－x)＝0，解得x＝－4.6．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于()A．－6B．6C．2D．－2[答案]B[解析]a＋2b＝(5,5),3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，∴λ＝6.7．(09·北京文)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向[答案]D[解析]c＝(k,0)＋(0,1)＝(k,1)，d＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，c∥d⇒k×(－1)－1×1＝0，∴k＝－1.∴c＝(－1,1)与d反向，∴选D.8．(09·广东文)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线[答案]C[解析]a＋b＝(0,1＋x2)，由1＋x2≠0及向量的性质可知，C正确．二、填空题9．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．[答案]或[解析]由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则AB＝(x－1，y－2)＝b.由⇒.又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B或.10．若三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则＋的值为________．[答案]－[解析] A、B、C共线，∴AB∥AC， AB＝(2，m＋2)，AC＝(n＋2,2)，∴4－(m＋2)(n＋2)＝0，∴mn＋2m＋2n＝0， mn≠0，∴＋＝－.11．在平面直角坐标系中，O为原点，已知两点A(1，－2)，B(－1,4)，若点C满足OC＝αOA＋βOB，其中0≤α≤1且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为________．[答案]3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)[解析] α＋β＝1，∴β＝1－α，又 OC＝αOA＋βOB＝αOA＋(1－α)OB，∴OC－OB＝α(OA－OB)，∴BC∥BA，又BC与BA有公共点B，∴A、B、C三点共线， 0≤α≤1，∴C点在线段AB上运动，∴C点的轨迹方程为3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)．12．已知向量OA＝(k,6)，OB＝(4,5)，OC＝(1－k，10)，且A、B、C三点共线，则k＝______.[答案][解析]解法一： A、B、C三点共线，∴＝，解得k＝.解法二：AB＝(4－k，－1)，BC＝(－3－k,5)， A、B、C三点共线，∴AB∥BC，∴5(4－k)－(－1)·(－3－k)＝0，∴k＝.三、解答题13．a≠0，b≠0，a与b不平行．求证：a＋b与a－b不平行．[证明] a≠0，b≠0，∴a＋b与a－b不可能同时为0，不妨设a－b≠0.假设a＋b与a－b平行，则存在实数λ，使a＋b＝λ(a－b)，∴(1－λ)a＝(－1－λ)b， a与b不平行，∴矛盾无解，∴a＋b与a－b不平行．[点评]“”本题体现了正难则反的策略，也可引入坐标，通过坐标运算求解．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)．假设(a＋b)∥(a－b)，则有(x1＋x2)(y1－y2)－(y1＋y2)(x1－x2)＝0，即x1y1＋x2y1－x1y2－x2y2－x1y1－x1y2＋x2y1＋x2y2＝0，整理得2(x2y1－x1y2)＝0，∴x2y1－x1y2＝0. a≠...
