【成才之路】-学年高中数学3.2.3两角和与差的正切函数基础巩固北师大版必修4一、选择题1．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于()A．－3B．－C．3D．[答案]D[解析]tan(α－β)＝＝＝.2．若tan＝3，则tanα等于()A．－2B．－C．D．2[答案]B[解析]tanα＝tan＝＝－.3．若tanα＝2，tanβ＝3，且α，β∈(0，)，则α＋β的值为()A．30°B．45°C．135°D．225°[答案]C[解析]∵tan(α＋β)＝＝＝－1,0<α＋β<π，∴α＋β＝135°.4．若∠A＝22°，∠B＝23°，则(1＋tanA)(1＋tanB)的值是()A．B．2C．1＋D．2(tanA＋tanB)[答案]B[解析]因为原式＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝1＋tanAtanB＋tan(A＋B)(1－tanAtanB)＝1＋tanAtanB＋tan45°(1－tanAtanB)＝2＋tanAtanB－tanAtanB＝2.5．若A＝15°，B＝30°，则(1＋tanA)(1＋tanB)的值为()A．1B．2C．－1D．－2[答案]B[解析]∵tan(A＋B)＝tan45°＝1，∴＝1.∴tanA＋tanB＝1－tanAtanB.∴(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝2.6．已知sin2α＝，tan(α＋β)＝－2，tan(α－β)的值为()A．B．－C．－D．[答案]A[解析]先求出cos2α＝－，∴tan2α＝－.由于tan2α＝tan[(α－β)＋(α＋β)]＝＝－，解得tan(α－β)＝.二、填空题7.＝________.[答案][解析]原式＝tan(23°＋37°)＝tan60°＝.8．已知tan＝，tan＝－，则tan＝________.[答案][解析]tan＝tan＝＝.三、解答题9．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知点A，B的横坐标分别为，.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．[解析](1)由已知条件及三角函数的定义，可知cosα＝，cosβ＝.因为α为锐角，故sinα>0，从而sinα＝＝.同理可得sinβ＝.因此tanα＝7，tanβ＝.所以tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝－1.又0<α<，0<β<，故0<α＋2β<，从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝.一、选择题1．△ABC中，tanA·tanB>1，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定[答案]A[解析]∵tanA·tanB>1>0.∴tanA>0且tanB>0(否则A、B同为钝角，不可能)，∴tan(A＋B)＝<0，∴90°
0，故tanA＝1，所以A＝.6．已知tanα＝－，cosβ＝，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．[解析]考查两角和与差的三角函数公式的运用和三角函数的性质．(1)由cosβ＝，β∈(0，π)，得sinβ＝，所以tanβ＝＝2，所以tan(α＋β)＝＝1.(2)因为tanα＝－，α∈(0，π)，所以sinα＝，cosα＝－.∴f(x)＝sinxcosα－cosxsinα＋cosxcosβ－sinxsinβ＝－sinx－cosx＋cosx－sinx＝－sinx.所以f(x)的最大值为.7．设一元二次方程mx2＋(2m－1)x＋(m＋1)＝0的两根为tanα，tanβ，求tan(α＋β)的取值范围．[解析]∵方程为一元二次方程，∴m≠0.又方程的两根为tanα，tanβ，则Δ＝(2m－1)2－4m(m＋1)≥0，解之得m≤.∴m∈(－∞，0)∪(0，]．由韦达定理得tanα＋tanβ＝－，tanα·tanβ＝，于是有tan(α＋β)＝＝＝2m－1.∵2m－1≤2×－1＝－，且2m－1≠－1，∴tan(α＋β)的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，－]．
