【成才之路】-学年高中数学3.3第2课时双曲线的简单性质基础达标北师大版选修2-11．下列曲线中离心率为的是()A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1[答案]B[解析]双曲线的离心率e＝＝＝＝，得＝，只有B选项符合，故选B.2．(·北京文，7)双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是()A．m>B．m≥1C．m>1D．m>2[答案]C[解析]双曲线离心率e＝>，所以m>1，选C.3．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1[答案]A[解析]本题考查双曲线标准方程的求法．由题意知，焦距为10，∴c＝5，又 P(2,1)在双曲线的渐近线上，∴a＝2b，联立得a2＝20，b2＝5，故双曲线方程－＝1，注意焦距为2c而不是c，双曲线的渐近线方程的求法．二、填空题4．若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________.[答案]48[解析]本题主要考查双曲线的基本性质．c2＝a2＋b2＝16＋m，又 e＝，∴e＝2＝，∴m＝48.5．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．[答案][解析]如图， c>b，∴∠B1F1B2＝60°，∴∠B1F1O＝30°.在△B1OF1中，＝tan30°，∴＝.∴＝.∴1－＝，∴＝.∴e2＝＝，∴e＝.三、解答题6．如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a，b>0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，求C的离心率．[解析]本题考查双曲线的几何性质．F1(－c,0)，B(0，b)．∴k＝，那直线F1B方程为y＝x＋b，联立，得P点坐标(，)．Q点坐标为(，)，中点N的坐标为(，)，∴MN的直线方程为y－＝－(x－)．令y＝0，∴x＝，又由|MF2|＝|F1F2|知＝3c.∴a2＝2b2，∴＋1＝e2＝.∴e＝.一、选择题1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A．－B．－4C．4D．[答案]A[解析]双曲线方程化为标准形式：y2－＝1，则有：a2＝1，b2＝－，由题设条件知，2＝，∴m＝－.2．已知双曲线kx2－y2＝1的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则这个双曲线的离心率是()A．B．C．D．[答案]D[解析]由2x＋y＋1＝0，知此直线的斜率k1＝－2，则给定的双曲线的一条渐近线的斜率为k2＝.而双曲线的一条渐近线为y＝x，则k＝，∴e＝＝＝，故选D.3．已知双曲线－＝1，过其右焦点F的直线交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则的值为()A．B．C．D．[答案]B[解析]依题意，将直线PQ特殊化为x轴，于是有点P(－3,0)、Q(3,0)、M(0,0)、F(5,0)，＝，选B.4．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则PF1·PF2等于()A．－12B．－2C．0D．4[答案]C[解析]由渐近线方程y＝x，得b＝，把点P(，y0)代入－＝1中，得y0＝±1.不妨取P(，1)， F1(－2,0)，F2(2,0)，∴PF1·PF2＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝3－4＋1＝0.5．(·山东理)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()A．x±y＝0B．x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0[答案]A[解析]e＝＝，e＝＝，∴e·e＝＝1－()4＝，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.二、填空题6．若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，则b等于________．[答案]1[解析]双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，又渐近线方程为y＝±x，故b＝1.7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在点P使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________．[答案](1，＋1)[解析]考查双曲线的性质．不妨设P为双曲线右支上一点，由正弦定理可得＝＝，∴＝e，故＝＝e－1，而PF2＝>c－a，即>e－1，∴e<＋1，又 e>1，∴1
