1第一学期《量子力学》（B）卷参考解答及评分标准一、简答题1.束缚态、非束缚态及相应能级的特点。答：束缚态：粒子在一定范围内运动，r时，0。能级分立。非束缚态：粒子的运动范围没有限制，r时，不趋于0。能级连续分布。2.一质量为的粒子在一维无限深方势阱axxaxxV2,0,20,0)(中运动，写出其状态波函数和能级表达式。解：axxaxaxnaxn2,0,0,20,2sin1)(,3,2,1,82222nanEn3.写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。解：!2,)()(2/22nAxHeAxnnnxnn。,2,1,0,21nnEn4.电子自旋假设的两个要点。解：（1）电子具有自旋角动量s，它在空间任意方向的投影只有两个取值：2；（2）电子具有自旋磁矩M，它的回转磁比值为轨道回转磁比值的2倍，即自旋回转磁比值为单位取自旋内禀磁矩mcemcegs22，轨道回转磁比值12mcegl轨道角动量轨道磁矩。2二、填充题5.用球坐标表示，粒子波函数表为,,r，则粒子在立体角d中被测到的几率为220,,Pdrrdr6.）（zLL,2的共同本征函数是球谐函数),(lmY，相应的本征值分别是22(,)(1)(,)lmlmLYllY和(,)(,)zlmlmLYmY。7.,,,,2,zxzyzyxzyzxzpiLLiLyLixiLpip8.完全描述电子运动的旋量波函数为)2/,()2/,(),(rrsrz，则2,/2r表示电子自旋向上（2zs）、位置在r处的几率密度；232/,rrd表示电子自旋向下（2zs）的几率。三、证明题9.一维运动中，哈密顿量)(22xVmpH，证明：2,ipdxHmmdx，,()dpHiVxdx。证：dxdmmpipimpxmHx,,，)()(,,xVdxdixVpHp。10.在直角坐标系中，证明：0],[2pL，其中L为角动量算符，p为动量算符。证：],[],[],[],[222222zxyxzyxxxpLpLpppLpLzzxzxzyyxyxyppLpLpppLpLp],[],[],[],[30zyyzyzzyppppippppi；同理，0],[2pLy，0],[2pLz所以0],[2pL四、计算题11.设粒子处于一维无限深势阱axxaxxV或0,0,0中，求处于定态xn中的粒子位置x的平均值。解：axxaxaxnaxn或0,00,sin2，2sin202axdxaxnaxa。12.一质量为m的粒子在一维势箱ax0中运动，其量子态为axaxax3sin23sin212)(①该量子态是否为能量算符H的本征态？②对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？③处于该量子态粒子能量的平均值为多少？解：①在此一维势箱中运动的粒子，其波函数和能量表达式为axxaxaxnan或,,sin,3,2,1,22222nanEn对波函数的分析可知)(23)(21)(31xxx4即粒子处在)(1x和)(3x的叠加态，该量子态不是能量算符H的本征态。②由于)(x是能量本征态)(1x和)(3x的线性组合，而且是归一化的，因此能量测量的可能值为2223222129,2aEaE其出现的概率分别为4323,412122③能量测量的平均值为22222231272943414341aaEEE13.一维无限深势阱)0(ax中的粒子，受到微扰axaaxaxaxH/,)(/,/的作用，求基态能量的一级修正。02aa解：一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为,,,,sin,)()(naxnaanEnn基态，axaaEsin,)()(。基态能量的一级修正为dxxHxHEa)()(02)0(111)1(1aaadxaxaxadxaxaxa2220212sin22sin2。作变换：duadxauxaxu,,；dvadxavaxaxv,,。代入上式完成积分：5vdvvuduuE20222202)1(1sin4sin422202221sin8uduu，2222)1(1)0(112212aEEE。
