【成才之路】-学年高中数学4.2第2课时复数的乘法与除法同步检测北师大版选修1-2一、选择题1．(·郑州六校质量检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]A[解析]∵＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．2．(·新课标Ⅱ文)||＝()A．2B．2C.D．1[答案]C[解析]∵＝1－i，∴||＝|1－i|＝，故选C.3．(·河北衡水中学二调)在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]B[解析]＝＝＝－＋i，∴复数对应的点位于第二象限．4．(·开滦三中期中)若复数是纯虚数，则实数a的值为()A．2B．－C.D．－[答案]A[解析]∵＝＝是纯虚数，∴a＝2.5．设z1＝，z2＝(1＋i)(1－i)，z＝z1＋z2，则＝()A．3－iB．＋iC.－iD．＋i[答案]D[解析]z1＝＝＝－iz1＝(1＋i)(1－i)＝2z＝z1＋z2＝－i∴z＝＋i.6．(·唐山市一模)设(2＋i)＝3＋4i，则z＝()A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i[答案]D解法1：＝＝2＋i，∴z＝2－i，故选D.解法2：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(2＋i)(a－bi)＝3＋4i∴∴∴z＝2－i.二、填空题7．(·天津理)已知a、b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.[答案]1＋2i[解析]由(a＋i)(1＋i)＝bi得，a＋(1＋a)i－1＝bi，∴，∴b＝2，a＝1，∴a＋bi＝1＋2i.8．复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.[答案]2＋i[解析](1＋2i)·＝4＋3i，＝＝＝2－i，∴z＝2＋i.9．如果复数z＝(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝________[答案]－[解析]z＝＝＝，∴2－2b＝b＋4，∴b＝－.三、解答题10．计算：(1)(－＋i)(2－i)(3＋i)；(2).[答案](1)＋i(2)－2－2i[解析](1)(－＋i)(2－i)(3＋i)＝(－＋i)(7－i)＝＋i.(2)＝＝＝＝＝－2－2i.一、选择题11．(·郑州市质检)若复数z满足(2－i)z＝|1＋2i|，则z的虚部为()A.B．iC．1D．i[答案]A[解析]解法1：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(2－i)(a＋bi)＝5，∴(2a＋b)＋(2b－a)i＝.由复数相等的条件知∴∴z的虚部为.解法2：将两边同乘以2＋i得，5z＝(2＋i)，∴z＝＋i，∴z的虚部为.解法3：z＝＝＝＋i，∴z的虚部为.12．(·鱼台一中高二期中)已知z是z的共轭复数，若z·zi＋2＝2z，则z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i[答案]A[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入z·zi＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，由复数相等的条件得，∴∴z＝1＋i，故选A.13．(·石家庄质检)设z＝1＋i(i上虚数单位)，则＋z2等于()A．－1＋iB．－1－iC．1＋iD．1－i[答案]C[解析]＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.14．(·长安一中质检)设z＝＋i(i是数单位)，则z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6＝()A．6zB．6z2C．6zD．－6z[答案]C[解析]z2＝－＋i，z3＝－1，z4＝－－i，z5＝－i，z6＝1，∴原式＝(＋i)＋(－1＋i)＋(－3)＋(－2－2i)＋(－i)＋6＝3－3i＝6(－i)＝6z.二、填空题15．(·湖北文，12)若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.[答案]3[解析]＝＝＋i＝a＋bi，即，解得a＝0，b＝3.∴a＋b＝3.16．若复数z在复平面内的对应点在第二象限，|z|＝5，z对应点在直线y＝x上，则z＝________.[答案]－3＋4i[分析]利用z对应点在直线y＝x上可设出z或z，再利用|z|＝5可列方程求解，最后由z的对应点在第二象限决定取舍．[解析]设z＝3t＋4ti(t∈R)，则z＝3t－4ti，∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25，∴t2＝1，∵z的对应点在第二象限，∴t<0，∴t＝－1，∴z＝－3＋4i.三、解答题17．(·重庆南开中学高二期中)已知＝1－ni，(m、n∈R，i是虚数单位)，求m、n的值．[答案]m＝1n＝2[解析]∵＝1－ni，∴＝1－ni，∴m－mi＝2－2ni，∴，∴.18．已知z是虚数，且z＋是实数，求证：是纯虚数．[分析]将z＝x＋yi(x，y∈R且y≠0)代入z＋，分别化为代数形式．[解析]设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0.由已知得z＋＝(x＋yi)＋＝x＋yi＋＝(x＋)＋(y－)i.∵z＋是实数，∴y－＝0，即x2＋y2＝1，且x≠±1，∴＝＝＝＝－i.∵y≠0，x≠－1，∴是纯虚数．
