【成才之路】-学年高中数学4.3定积分的简单应用基础巩固北师大版选修2-2一、选择题1．求曲线y＝x2与直线y＝x所围成图形的面积，其中正确的是()A．S＝(x2－x)dxB．S＝(x－x2)dxC．S＝(y2－y)dyD.S＝(y－)dy[答案]B[解析]作出图形，容易判断应选B.2．由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.B.4C.D.6[答案]C[解析]由题意知，所围成的面积[－(x－2)]dx＝(x－x2＋2x)|＝×4－×42＋2×4＝.[点评]本小题重在考查由两条曲线与y轴所围成的曲边形的面积，要注意用函数值较大的减去函数值较小函数的积分值，并注意积分上、下限范围．3．(·广州模拟)物体A以v＝3t3＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A．3B.4C．5D.6[答案]C[解析]因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t2＋1)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt，所以(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)|＝t3＋t－5t2＝5⇒(t－5)(t2＋1)＝0，即t＝5.二、填空题4．(·宁波五校联考)由曲线y＝2x2，直线y＝－4x－2，直线x＝1围成的封闭图形的面积为________．[答案][解析]联立解得直线与抛物线的交点横坐标为x＝－1，由题意得，由曲线y＝2x2，直线y＝－4x－2，直线x＝1围成的封闭图形的面积为：(2x2＋4x＋2)dx＝(x3＋2x2＋2x)|＝＋2＋2＋－2＋2＝.5．由直线y＝x和曲线y＝x3(x≥0)所围成的图形绕x轴旋转，求所得旋转体的体积为________．[答案][解析]由求得或所以V＝πx2dx－πx6dx＝πx2dx－πx6dx＝π＝π＝π×＝.三、解答题6．求由曲线y＝2x－x2，y＝2x2－4x所围成图形的面积．[解析]由得x1＝0，x2＝2.如图所示，所求图形的面积S＝(2x－x2)dx＋|(2x2－4x)dx|＝(2x－x2)dx－(2x2－4x)dx＝(x2－x3)|－(x3－2x2)|＝4.一、选择题1．已知自由下落物体的速度为v＝gt，则物体从t＝0到t＝t0所走过的路程为()A.gtB．gtC.gtD.gt[答案]C[解析]∫t00gtdt＝gt2|t00＝gt.2．如果1N的力能把弹簧拉长1cm，为了将弹簧拉长6cm，所耗费的功为()A．0.18JB．0.26JC．0.12JD．0.28J[答案]A[解析]设F(x)＝kx.当F＝1N时，x＝0.01m，则k＝100，所以F(x)＝100x，所以W＝∫100xdx＝50x2|＝0.18J.3．(·湖北理，6)若函数f(x)，g(x)满足－1f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是()A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1,1]上的正交函数，即需满足f(x)g(x)dx＝0.①f(x)g(x)dx＝sinxcosxdx＝sinxdx＝(－cosx)|＝0，故第①组是区间[－1,1]上的正交函数；②f(x)g(x)dx＝(x＋1)(x－1)dx＝(－x)|＝－≠0，故第②组不是区间[－1,1]上的正交函数；③f(x)g(x)dx＝x·x2dx＝|＝0，故第③组是区间[－1,1]上的正交函数．综上，其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是2.4．直线y＝2x，x＝1，x＝2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为()A.B．32πC.D．3π[答案]A[解析]由V＝π·(2x)2dx＝π4x2dx＝4πx2dx＝4π·x3|＝(8－1)＝.5．(·福建理，6)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.B.C.D.[答案]C[解析]本题考查了定积分的计算与几何概型的算法，联立∴O(0,0)，B(1,1)，∴S阴影＝(－x)dx＝(x－)|＝－＝，∴P＝＝＝.定积分的几何意义是四边梯形的面积，几何概型的概率计算方法是几何度量的比值．二、填空题6．抛物线y＝x2与直线y＝x所围成的图形的面积是________．[答案][解析]如图，y＝x2与y＝x的交点坐标为(0,0)和(，)，所以所求的面积为＝[()2－()3]－0＝.7．曲线y＝ex，直线x＝0，x＝与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为________．[答案][解析](e－1)＝.三、解答题8．计算(y－1)2＝x＋1及y＝x所围的平面图形的面积．[分析]首先画出草图(如图所示)，若选x为积分变量，则需将图形分割，运算繁琐，可选用y作为积分变量，为此求出两线交点的纵坐标，确定出被积函数和积分的上、下限．[解析]...
