【成才之路】-学年高中数学1.2.2第2课时基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)同步测试新人教A版选修2-2一、选择题1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.2．(·贵州湄潭中学高二期中)曲线f(x)＝xlnx在点x＝1处的切线方程为()A．y＝2x＋2B．y＝2x－2C．y＝x－1D．y＝x＋1[答案]C[解析] f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是()A．B．C．D．[答案]A[解析] f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，∴f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列{}(n∈N*)的前n项和为：Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝，故选A.4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]C[解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝a2－，顶点在第三象限，故选C.5．函数y＝sin2x－cos2x的导数是()A．y′＝2cosB．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝sin2x＋cos2xD．y′＝2cos[答案]A[解析]y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′＝2cos2x＋2sin2x＝2cos.6．(·烟台质检)已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是()[答案]B[解析]依题意可设f(x)＝ax2＋c(a<0，且c>0)，于是f′(x)＝2ax，显然f′(x)的图象为直线，过原点，且斜率2a<0，故选B.二、填空题7．(·天津红桥区高二段测)已知函数f(x)＝x·2x，当f′(x)＝0时，x＝________.[答案]－[解析]f′(x)＝2x＋x·2xln2＝2x(1＋xln2)，由f′(x)＝0及2x>0知，1＋xln2＝0，∴x＝－.8．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.[答案][解析]f′(x)＝－sin(x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin.若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin，∴φ＋＝kπ(k∈Z)．又 φ∈(0，π)，∴φ＝.9．(·江西临川十中期中)已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．[答案]ln2[解析] y＝ln(x＋a)，∴y′＝，设切点为(x0，y0)，则y0＝2x0－1，y0＝ln(x0＋a)，且＝2，解之得a＝ln2.三、解答题10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．[解析] f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.又 f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1. 函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1. f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.∴a＝，c＝－.∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.一、选择题11．(·新课标Ⅱ理，8)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．3[答案]D[解析]本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．令f(x)＝ax－ln(x＋1)，∴f′(x)＝a－.∴f(0)＝0，且f′(0)＝2.联立解得a＝3，故选D.12．(·全国大纲文，10)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝()A．9B．6C．－9D．－6[答案]D[解析]y′＝4x3＋2ax，y′|x＝－1＝－4－2a＝8，∴a＝－6.13．已知y＝tanx，x∈，当y′＝2时，x等于()A．B．πC．D．[答案]C[解析]y′＝(tanx)′＝′＝＝＝2，∴cos2x＝，∴cosx＝±， x∈，∴x＝.14．(·辽宁六校联考)设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数y＝f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线斜率为，则切点的横坐标为()A．B．－C．ln2D．－ln2[答案]C[解析]f′(x)＝ex－ae－x，由f′(x)为奇函数，得f′(x)＝－f′(－x)，即(a－1)(ex＋e－x)＝0恒成立，∴a＝1，∴f(x)＝ex＋e－x，设切点的横坐标为x0，由导数的几何意义有ex0－e－x0＝，解得x0＝ln2，故选C....
