【成才之路】-学年高中数学1.3第2课时利用导数研究函数的极值同步测试新人教B版选修2-2一、选择题1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中正确的是()A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值[答案]C[解析]由极大值的定义可知C正确．2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点[答案]C[解析]f′(x)的图象有4个零点，且全为变号零点，所以f(x)有4个极值点，且f′(x)的函数值由正变负为极大值点，由负变正为极小值点，故选C.3．函数f(x)＝x＋的极值情况是()A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2[答案]D[解析]f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝±1，函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调增，在(－1,0)和(0,1)上单调减，∴当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.故选D.4．(·北师大附中高二期中)函数y＝x4－x3的极值点的个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]y′＝x3－x2＝x2(x－1)，由y′＝0得x1＝0，x2＝1.当x变化时，y′、y的变化情况如下表x(－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)y′－0－0＋y无极值极小值故选B.5．函数y＝f(x)＝x3－3x的极大值为m，极小值为n，则m＋n为()A．0B．1C．2D．4[答案]A[解析]y′＝3x2－3，令y′＝0，得3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1，当x<－1时，y′>0；当－1
1时，y′>0，∴函数在x＝－1处取得极大值，m＝f(－1)＝2；函数在x＝1处取得极小值，n＝f(1)＝－2.∴m＋n＝2＋(－2)＝0.6．函数y＝f(x)＝(x2－1)3＋1在x＝－1处()A．有极大值B．有极小值C．无极值D．无法判断极值情况[答案]C[解析]f′(x)＝6x(x2－1)2＝6x(x－1)2·(x＋1)2虽有f′(－1)＝0，但f′(x)在x＝－1的左右不变号，∴函数f(x)在x＝－1处没有极值．故选C.7．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]B[解析]f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得0f(b)D．f(a)，f(b)的大小关系不能确定[答案]C[解析]f′(x)＝()′＝＝.当x<1时，f′(x)<0，∴f(x)为减函数， af(b)．9．函数f(x)＝x2－x＋1在区间[－3,0]上的最值为()A．最大值为13，最小值为B．最大值为1，最小值为4C．最大值为13，最小值为1D．最大值为－1，最小值为－7[答案]A[解析]由y′＝2x－1＝0，得x＝，f(－3)＝13，f＝，f(0)＝1，∴f(x)在[－3,0]上的最大值为13，最小值为.故选A.二、填空题10．函数f(x)＝x(x－m)2在x＝2处有极大值，则常数m的值为____________．[答案]6[解析] f(x)＝x(x－m)2＝x3－2mx2＋m2x，∴f′(x)＝3x2－4mx＋m2，由题意得，f′(2)＝0，∴m＝6或2，当m＝2时，函数f(x)在x＝2处取极小值，故m＝6.11．函数y＝x－2在[0,4]上的最大值是__________，最小值是____________．[答案]0－1[解析]y′＝1－，令y′＝0，得x＝1，f(0)＝0，f(1)＝－1，f(4)＝0，∴函数y＝x－2的最大值为0，最小值为－1.12．(·河北冀州中学期中)若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围为________．[答案][－1,1][解析]f′(x)＝1＋acosx，由条件知f′(x)≥0在R上恒成立，∴1＋acosx≥0，a＝0时显然成立；a>0时， －≤cosx恒成立，∴－≤－1，∴a≤1，∴0
