【成才之路】-学年高中数学1.3.3函数的最大(小)值与导数同步测试新人教A版选修2-2一、选择题1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是()A．12；－8B．1；－8C．12；－15D．5；－16[答案]A[解析]y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1；x＝－1时y＝12；x＝1时y＝－8.∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A.2．(·北京东城区联考)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在(1,3)上f(x)是减函数C．在(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝4时，f(x)取极大值[答案]C[解析]由导函数y＝f′(x)的图象知，f(x)在(－2,1)上先减后增，在(1,3)上先增后减，在(4,5)上单调递增，x＝4是f(x)的极小值点，故A、B、D错误，选C.3．(·安徽程集中学期中)已知函数f(x)(x∈R)满足f′(x)＞f(x)，则()A．f(2)e2f(0)[答案]D[分析]所给四个选项实质是比较f(2)与e2f(0)的大小，即比较与的大小，故构造函数F(x)＝解决．[解析]设F(x)＝，则F′(x)＝>0，∴F(x)在R上为增函数，故F(2)>F(0)，∴>，即f(2)>e2f(0)．4．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为()A．B．C．D．[答案]A[解析]f′(x)＝1－3x2＝0，得x＝∈[0,1]， f＝，f(0)＝f(1)＝0.∴f(x)max＝.5．(·河南淇县一中模拟)设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则()A．a>－3B．a<－3C．a>－D．a<－[答案]B[解析]y′＝aeax＋3，由条件知，方程aeax＋3＝0有大于零的实数根，∴0<－<1，∴a<－3.6．(·开滦二中期中)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()A．(0,1)B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D．(0，)[答案]D[解析]f′(x)＝3x2－6b， f(x)在(0,1)内有极小值，∴在(0,1)内存在点x0，使得在(0，x0)内f′(x)<0，在(x0,1)内f′(x)>0，由f′(x)＝0得，x2＝2b>0，∴∴00的解集为()A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1,2)C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)[答案]D[解析]由f(x)的图象知，在(－∞，－1)上f′(x)>0，在(－1,1)上f′(x)<0，在(1，＋∞)上f′(x)>0，又x2－2x－3>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，x2－2x－3<0的解集为(－1,3)．∴不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．二、填空题8．(·三亚市一中月考)曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．[答案]2－1[解析]y′|x＝1＝－|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1.9．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处取极大值，则常数c的值为________．[答案]6[解析]f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f′(2)＝0解得c＝2或6.当c＝2时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，故f(x)在x＝2处取得极小值，不合题意舍去；当c＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x2－8x＋12)＝3(x－2)(x－6)，故f(x)在x＝2处取得极大值．三、解答题10．(·淄博市临淄中学学分认定考试)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.(1)求a、b的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．[解析](1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，由解得∴a＝2，b＝－4.(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝或x＝－2.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－2)－2(－2，)(，1)1f′(x)＋0－0＋f(x)8增极大值减极小值增4∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f()＝，又f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.一、选择题11．函数f(x...
