【成才之路】-学年高中数学第4章§22.1实际问题中导数的意义同步测试北师大版选修1-1一、选择题1．已知函数y＝f(x)，x∈R，则f′(x0)表示()A．自变量x＝x0时对应的函数值B．函数值y在x＝x0时的瞬时变化率C．函数值y在x＝x0时的平均变化率D．无意义[答案]B[解析]根据导数的几何意义知选B.2．质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示()A．t＝1s时的速度B．t＝1s时的加速度C．t＝1s时的位移D．t＝1s时的平均速度[答案]B[解析]v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度．3．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2(t表示时间)，则t＝2时，汽车的加速度是()A．14B．4C．10D.6[答案]A[解析]速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t.所以加速度a(t)＝v′(t)＝12t－10，当t＝2时，a(t)＝14，即t＝2时汽车的加速度为14.4．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系如图所示，那水瓶的形状是()[答案]B[解析]在曲线上任取一个横坐标为h0的点，则注水量V在h0到h0＋Δh的平均变化率为，在h0处的导数为V′＝lim.由图像可知，随着h0的增大，曲线的切线的倾斜角越来越小，切线的斜率也就越来越小，即导数越来越小，那么在Δh不变的前提下，平均变化率＝ΔS，因此，水瓶中水面的面积会越来越小，故选B.5．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A．－1
2D．a<－1或a>2[答案]D[解析]f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，函数有极大值和极小值，则f′(x)＝0有两个不等实根，故Δ＝36a2－36×(a＋2)>0，即a2－a－2>0.所以a<－1或a>2.6．如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是()[答案]D[解析]由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快．符合实际．[点评]函数变化的快慢可通过函数的导数体现出来，导数的绝对值越大，函数变化越快，函数图像就比较“陡峭”，反之，函数图像就“平缓”一些．二、填空题7．人体血液中药物的质量浓度c＝f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化，若f′(2)＝0.3，则f′(2)表示________．[答案]服药2分钟后血液中药物的质量浓度以每分钟0.3mg/mL的速度增加．8．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝3t2＋t，则速度v＝10时的时刻t＝________.[答案][解析]s′＝6t＋1，则v(t)＝6t＋1，设6t＋1＝10，则t＝.9．火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100m/s.则熄火后________秒后火箭速度为零(g取10m/s2)．[答案]10[解析]由已知，得火箭的运动方程为h(t)＝100t－gt2，∴h′(t)＝100－gt.令h′(t)＝0，即100－gt＝0，∴t＝＝10(s)．即火箭熄火后10s速度变为零．三、解答题10．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义．[答案]f′(2)＝－3，f′(6)＝5[解析]在第2h和6h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和f′(6)． f′(x)＝2x－7.∴f′(2)＝－3，f′(6)＝5.在第2h与第6h，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5，它说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速度下降；在第6h附近，原油温度大约为5℃/h的速度上升.一、解答题11．自由落体运动的方程为s＝gt2.(1)求t从3s变到3.1s时，s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求s′(3)．[答案](1)3.05gm/s(2)3gm/s[解析](1)Δs＝s(3.1)－s(3)＝g×3.12－g×32＝0.305g，Δt＝0.1，∴＝3.05g(m/s)．它表示从t＝3s到t＝3.1s这段时间内，自由落体运动的物体的平均速度为3.05g(m/s)．(2)s′＝gt，∴s′(3)＝3g(m/s)，它表示自由落体运动的物体在t＝3s时的瞬时速度为3g(m/s)．12．氡气是一种由地表自然...
