用心爱心专心高考数学——压轴题跟踪演练系列（十八）1.已知圆O：822yx交x轴于BA,两点，曲线C是以AB为长轴，直线：4x为准线的椭圆．（1）求椭圆的标准方程；（2）若M是直线上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于QP,两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；（3）如图所示，若直线PQ与椭圆C交于HG,两点，且HEEG3，试求此时弦PQ的长．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为222210xyabab，则：2224aac，从而：222ac，故2b,所以椭圆的标准方程为22184xy⋯⋯4分（Ⅱ）设(4,)Mm，则圆K方程为2222424mmxy与圆22:8Oxy联立消去22,xy得PQ的方程为480xmy，过定点2,0E⋯⋯⋯⋯⋯10分（Ⅲ）解法一：设1122,,,GxyHxy，则221122222828xyxy,⋯⋯⋯①3EGHE，11222,32,xyxy，即：1212833xxyy代入①解得：228323xy（舍去正值），1PQk，所以:20PQxy，从而圆心0,0O到直线PQ的距离122d，从而2226PQRd⋯⋯⋯16分解法二：过点,GH分别作直线l的垂线，垂足分别为,GH，设PQ的倾斜角为，则：22,22GEEHeeGGHH，从而2,2GGGEHHHE，OxyABGHQMP用心爱心专心由3EGHE得：3EGHE，2cos2GGHHGEEH，故4，由此直线PQ的方程为20xy，以下同解法一.解法三：将:PQ480xmy与椭圆方程22184xy联立成方程组消去x得：223216640mymy,设1122,,,GxyHxy，则1212221664,3232myyyymm3FGHF，11222,32,xyxy，所以123yy代入韦达定理得：22222864,33232myymm，消去2y得：216m，4m，由图得：4m，所以:20PQxy，以下同解法一.2设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝an2＋a1，*||2RNnMana，≤．（1）当a∈（－∞，－2）时，求证：aM；（2）当a∈（0，14］时，求证：a∈M；（3）当a∈（14，＋∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．证明：（1）如果2a，则1||2aa，aM．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分（2）当104a≤时，12na≤（1n≥）．事实上，〔〕当1n时，112aa≤．设1nk时成立（2k≥为某整数），则对nk，221111242kkaaa≤≤．由归纳假设，对任意n∈N*，|an|≤12＜2，所以a∈M．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（3）当14a时，aM．证明如下：对于任意1n≥，14naa，且21nnaaa．对于任意1n≥，221111()244nnnnnaaaaaaaa≥，则114nnaaa≥．所以，1111()4nnaaaana≥．当214ana时，11()224nanaaaa≥，即12na，因此aM⋯⋯⋯⋯10分用心爱心专心3.已知函数21()2,()log2afxxxgxx－（a＞0，且a≠1），其中为常数．如果()()()hxfxgx是增函数，且()hx存在零点（()hx为()hx的导函数）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x11．由2ln2ln10xaxa恒成立，又()hx存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，所以lna＝1，即a＝e．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（Ⅱ）由（Ⅰ），001()gxx，于是210211yyxxx，21021lnlnxxxxx．⋯⋯⋯⋯9分以下证明21121lnlnxxxxx．（※）（※）等价于121121lnln0xxxxxx．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分令r（x）＝xlnx2－xlnx－x2＋x，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分r′（x）＝lnx2－lnx，在（0，x2］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x2］上为增函数．当x1
