【成才之路】高中数学4-1-2圆的一般方程能力强化提升新人教A版必修2一、选择题1．两圆x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2－6x＝0的圆心连线方程为()A．x＋y＋3＝0B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0D．4x－3y＋7＝0[答案]C[解析]两圆的圆心分别为(2，－3)、(3,0)，直线方程为y＝(x－3)即3x－y－9＝0，故选C.2．若方程x2＋y2＋(λ－1)x＋2λy＋λ＝0表示圆，则λ的取值范围是()A．(0∞，＋)B.C．(1∞，＋)∪D．R[答案]C[解析]D2＋E2－4F＝(λ－1)2＋4λ2－4λ>0解不等式得λ<或λ>1，故选C.3．过三点A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)的圆的方程是()A．x2＋y2＋4x－2y－20＝0B．x2＋y2－4x＋2y－20＝0C．x2＋y2－4x－2y－20＝0D．x2＋y2＋4x＋4y－20＝0[答案]C[解析]设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分别代入(－1,5)，(5,5)(6，－2)得，解得故选C.4．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线是以(－2,3)为圆心，4为半径的圆，则D、E、F的值分别为()A．4，－6,3B．－4,6,3C．－4,6，－3D．4，－6，－3[答案]D[解析]圆心为(－，－)，∴－＝－2，－＝3，∴D＝4，E＝－6，又R＝代入算得F＝－3.5．与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圆心，且过(1，－1)的圆的方程是()A．x2＋y2－4x＋6y－8＝0B．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0C．x2＋y2＋4x－6y－8＝0D．x2＋y2＋4x－6y＋8＝0[答案]B[解析]圆心为(2，－3)，半径R＝＝.6．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有()A．D＝EB．D＝FC．F＝ED．D＝E＝F[答案]A[解析]圆心(－，－)在直线y＝x上，所以D＝E，故选A.7．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为()A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0[答案]C[解析]令a＝0，a＝1，得方程组解得所以定点C的坐标为(－1,2)．则圆C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.8．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为()A.B．5C．2D．10[答案]B[解析]由题意，得直线l过圆心M(－2，－1)，则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.二、填空题9．圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为________．[答案]x2＋y2＋6x－8y－48＝0[解析]只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．10．圆x2＋2x＋y2＝0关于y轴对称的圆的一般方程是________．[答案]x2＋y2－2x＝0[解析]已知圆的圆心为C(－1,0)，半径r＝1，点C关于y轴的对称点为C′(1,0)，则已知圆关于y轴对称的圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.11．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是________．[答案]x2＋y2－4x＋2y＋1＝0[解析]设M(x，y)，A(2，－1)，则P(2x－2,2y＋1)，将P代入圆方程得：(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，即为：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.12．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.[答案]－2[解析]由题意可知直线l：x－y＋2＝0过圆心，∴－1＋＋2＝0，∴a＝－2.三、解答题13．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．[分析]本题可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．[解析]解法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m＝2时，D2＋E2－4F＝0，它表示一个点，当m≠2时，D2＋E2－4F>0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝＝|m－2|.解法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点，当m≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|.规律总结：(1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否...
