1.2一般形式的柯西不等式学习目标1.理解并掌握三维形式的柯西不等式.2.了解柯西不等式的一般形式,体会从特殊到一般的思维过程.3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题.知识点一三维形式的柯西不等式思考1类比平面向量,在空间向量中,如何用|α||β|≥|α·β|推导三维形式的柯西不等式?答案设α=(a1,a2,a3),β=(b1,b2,b3),则|α|=a21+a22+a23,|β|=b21+b22+b23. |α||β|≥|α·β|,∴a21+a22+a23·b21+b22+b23≥|a1b1+a2b2+a3b3|,∴(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2.思考2三维形式的柯西不等式中,等号成立的条件是什么?答案当且仅当α,β共线时,即β=0或存在实数k,使a1=kb1,a2=kb2,a3=kb3时,等号成立.梳理三维形式的柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3是两组实数,则(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2.当向量(a1,a2,a3)与向量(b1,b2,b3)共线时,等号成立.知识点二一般形式的柯西不等式1.一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,⋯,an,b1,b2,b3,⋯,bn是两组实数,则(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2.2.柯西不等式等号成立的条件当且仅当bi=0(i=1,2,⋯,n)或存在一个实数k,使得ai=kbi(i=1,2,⋯,n)时等号成立.当向量(a1,a2,⋯,an)与向量(b1,b2,⋯,bn)共线时,等号成立.类型一利用柯西不等式证明不等式命题角度1三维形式的柯西不等式的应用例1设a,b,c为正数,且不全相等.求证:2a+b+2b+c+2c+a>9a+b+c.证明构造两组数a+b,b+c,c+a;1a+b,1b+c,1c+a,则由柯西不等式,得(a+b+b+c+c+a)1a+b+1b+c+1c+a≥(1+1+1)2,①即2(a+b+c)1a+b+1b+c+1c+a≥9,于是2a+b+2b+c+2c+a≥9a+b+c.由柯西不等式知,①中等号成立?a+b1a+b=b+c1b+c=c+a1c+a?a+b=b+c=c+a?a=b=c.因为题设中a,b,c不全相等,故①中等号不成立,于是2a+b+2b+c+2c+a>9a+b+c.反思与感悟有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件,可以通过:(1)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以巧拆常数.(2)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以重新安排各项的次序.(3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子的结构,从而达到使用柯西不等式的目的.(4)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以添项.跟踪训练1已知a,b,c∈R+,求证:ab+bc+ca·ba+cb+ac≥9.证明由柯西不等式知,左边=ab2+bc2+ca2×ba2+cb2+ac2≥ab×ba+bc×cb+ca×ac2=(1+1+1)2=9,∴原不等式成立.命题角度2一般形式的柯西不等式的应用例2设a1,a2,⋯,an为正整数,求证:a21a2+a22a3+⋯+a2na1≥a1+a2+⋯+an.证明由柯西不等式,得a21a2+a22a3+⋯+a2na1(a2+a3+⋯+a1)≥a1a2·a2+a2a3·a3+⋯+ana1·a12=(a1+a2+⋯+an)2,故a21a2+a22a3+⋯+a2na1≥a1+a2+⋯+an.反思与感悟一般形式的柯西不等式看着往往感觉比较复杂,这时一定要注意式子的结构特征,一边一定要出现“方、和、积”的形式.跟踪训练2已知a1,a2,⋯,an∈R+,且a1+a2+⋯+an=1,求证:a21a1+a2+a22a2+a3+⋯+a2n-1an-1+an+a2nan+a1≥12.证明 a21a1+a2+a22a2+a3+⋯+a2nan+a1×2=a21a1+a2+a22a2+a3+⋯+a2nan+a1[(a1+a2)+(a2+a3)+⋯+(an+a1)]≥a21a1+a2·a1+a2+a22a2+a3·a2+a3+⋯+a2nan+a1·an+a12=(a1+a2+⋯+an)2=1,∴a21a1+a2+a22a2+a3+⋯+a2nan+a1≥12.类型二利用柯西不等式求函数的最值例3(1)若实数x,y,z满足x+2y+3z=a(a为常数),则x2+y2+z2的最小值为______.答案a214解析 (12+22+32)(x2+y2+z2)≥(x+2y+3z)2=a2,当且仅当1x=2y=3z时取等号,即14(x2+y2+z2)≥a2,∴x2+y2+z2≥a214,即x2+y2+z2的最小值为a214.(2)已知x,y,z∈R+,且x+y+z=1.求1x+4y+9z的最小值;解 x+y+z=1,∴1x+4y+9z=1x+4y+9z(x+y+z)≥1x·x+2y·y+3z·z2=(1+2+3)2=36.当且仅当x=y2=z3,即x=16,y=13,z=12时取等号.∴1x+4y+9z...