高中数学几个重要的不等式2一般形式的柯西不等式学案北师大版VIP免费

1.2一般形式的柯西不等式学习目标1.理解并掌握三维形式的柯西不等式.2.了解柯西不等式的一般形式，体会从特殊到一般的思维过程.3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题．知识点一三维形式的柯西不等式思考1类比平面向量，在空间向量中，如何用|α||β|≥|α·β|推导三维形式的柯西不等式？答案设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，则|α|＝a21＋a22＋a23，|β|＝b21＋b22＋b23. |α||β|≥|α·β|，∴a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23≥|a1b1＋a2b2＋a3b3|，∴(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.思考2三维形式的柯西不等式中，等号成立的条件是什么？答案当且仅当α，β共线时，即β＝0或存在实数k，使a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3时，等号成立．梳理三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时，等号成立．知识点二一般形式的柯西不等式1．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，⋯，an，b1，b2，b3，⋯，bn是两组实数，则(a21＋a22＋⋯＋a2n)(b21＋b22＋⋯＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋⋯＋anbn)2.2．柯西不等式等号成立的条件当且仅当bi＝0(i＝1,2，⋯，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，⋯，n)时等号成立．当向量(a1，a2，⋯，an)与向量(b1，b2，⋯，bn)共线时，等号成立.类型一利用柯西不等式证明不等式命题角度1三维形式的柯西不等式的应用例1设a，b，c为正数，且不全相等．求证：2a＋b＋2b＋c＋2c＋a＞9a＋b＋c.证明构造两组数a＋b，b＋c，c＋a；1a＋b，1b＋c，1c＋a，则由柯西不等式，得(a＋b＋b＋c＋c＋a)1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥(1＋1＋1)2，①即2(a＋b＋c)1a＋b＋1b＋c＋1c＋a≥9，于是2a＋b＋2b＋c＋2c＋a≥9a＋b＋c.由柯西不等式知，①中等号成立?a＋b1a＋b＝b＋c1b＋c＝c＋a1c＋a?a＋b＝b＋c＝c＋a?a＝b＝c.因为题设中a，b，c不全相等，故①中等号不成立，于是2a＋b＋2b＋c＋2c＋a＞9a＋b＋c.反思与感悟有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过：(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数．(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的．(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项．跟踪训练1已知a，b，c∈R＋，求证：ab＋bc＋ca·ba＋cb＋ac≥9.证明由柯西不等式知，左边＝ab2＋bc2＋ca2×ba2＋cb2＋ac2≥ab×ba＋bc×cb＋ca×ac2＝(1＋1＋1)2＝9，∴原不等式成立．命题角度2一般形式的柯西不等式的应用例2设a1，a2，⋯，an为正整数，求证：a21a2＋a22a3＋⋯＋a2na1≥a1＋a2＋⋯＋an.证明由柯西不等式，得a21a2＋a22a3＋⋯＋a2na1(a2＋a3＋⋯＋a1)≥a1a2·a2＋a2a3·a3＋⋯＋ana1·a12＝(a1＋a2＋⋯＋an)2，故a21a2＋a22a3＋⋯＋a2na1≥a1＋a2＋⋯＋an.反思与感悟一般形式的柯西不等式看着往往感觉比较复杂，这时一定要注意式子的结构特征，一边一定要出现“方、和、积”的形式．跟踪训练2已知a1，a2，⋯，an∈R＋，且a1＋a2＋⋯＋an＝1，求证：a21a1＋a2＋a22a2＋a3＋⋯＋a2n－1an－1＋an＋a2nan＋a1≥12.证明 a21a1＋a2＋a22a2＋a3＋⋯＋a2nan＋a1×2＝a21a1＋a2＋a22a2＋a3＋⋯＋a2nan＋a1[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋⋯＋(an＋a1)]≥a21a1＋a2·a1＋a2＋a22a2＋a3·a2＋a3＋⋯＋a2nan＋a1·an＋a12＝(a1＋a2＋⋯＋an)2＝1，∴a21a1＋a2＋a22a2＋a3＋⋯＋a2nan＋a1≥12.类型二利用柯西不等式求函数的最值例3(1)若实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝a(a为常数)，则x2＋y2＋z2的最小值为______．答案a214解析 (12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝a2，当且仅当1x＝2y＝3z时取等号，即14(x2＋y2＋z2)≥a2，∴x2＋y2＋z2≥a214，即x2＋y2＋z2的最小值为a214.(2)已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1.求1x＋4y＋9z的最小值；解 x＋y＋z＝1，∴1x＋4y＋9z＝1x＋4y＋9z(x＋y＋z)≥1x·x＋2y·y＋3z·z2＝(1＋2＋3)2＝36.当且仅当x＝y2＝z3，即x＝16，y＝13，z＝12时取等号．∴1x＋4y＋9z...