§2微积分基本定理1.了解微积分基本定理的含义.(难点)2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.(重点)[基础·初探]教材整理微积分基本定理阅读教材P82～P84，完成下列问题.1.微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有abf(x)dx＝F(b)－F(a).2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)图4-2-1(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图4-2-1(1)，则abf(x)dx＝S上.(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图4-2-1(2)，则abf(x)dx＝－S下.(2)(3)图4-2-1(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图4-2-1(3)，则abf(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则abf(x)dx＝0.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数.()(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.()(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数.()【答案】(1)√(2)√(3)√2.02π(－sinx)dx等于()A.0B.2C.－2D.4【解析】02π(－sinx)dx＝cosx2π0＝cos2π－cos0＝0.【答案】A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分.(1)12(x2＋2x＋3)dx；(2)－π0(cosx－ex)dx；(3)122x2＋x＋1xdx；(4)0π2sin2x2dx.【思路探究】(1)、(2)先求被积函数的一个原函数F(x)，然后利用微积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基本定理求解.【自主解答】(1)12(x2＋2x＋3)dx＝12x2dx＋122xdx＋123dx＝x3321＋x221＋3x21＝253.(2)－π0(cosx－ex)dx＝－π0cosxdx－－π0exdx＝sinx0－π－ex0－π＝1eπ－1.(3)2x2＋x＋1x＝2x＋1＋1x，而(x2＋x＋lnx)′＝2x＋1＋1x.∴122x2＋x＋1xdx＝(x2＋x＋lnx)21＝4＋ln2.(4)原式＝0π212(1－cosx)dx＝120π2(1－cosx)dx＝120π21dx－120π2cosxdx＝x2π20－sinx2π20＝π－24.求简单的定积分应注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限.[再练一题]1.12x－1x2dx＝________.【解析】12x－1x2dx＝121x－1x2dx＝lnx＋1x20＝ln2＋12－(ln1＋1)＝ln2－12.【答案】ln2－12求分段函数的定积分计算下列定积分.(1)f(x)＝sinx，0≤x<π2，1，π2≤x≤2，x－1，2
