第四讲数学归纳法证明不等式专题检测试卷(四)(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．如果命题P(n)对n＝k成立，那么它对n＝k＋2成立，又若P(n)对n＝1成立，则P(n)对所有()A．正整数n成立B．正偶数n成立C．正奇数n成立D．大于1的自然数n成立答案C2．若等式12＋22＋32＋⋯＋n2＝12(5n2－7n＋4)，则()A．n为任何正整数时都成立B．仅当n＝1,2,3时成立C．当n＝4时成立，n＝5时不成立D．仅当n＝4时不成立答案B解析分别用n＝1,2,3,4,5验证即可．3．用数学归纳法证明不等式1＋123＋133＋⋯＋1n3＜2－1n(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式()A．1＋123＜2－12B．1＋123＋133＜2－13C．1＋123＜2－13D．1＋123＋133＜2－14答案A解析第一步验证n＝2时不等式成立，即1＋123＜2－12.4．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋an－1(n∈N＋)，用数学归纳法证明a4n能被4整除，假设a4k能被4整除，然后应该证明()A．a4k＋1能被4整除B．a4k＋2能被4整除C．a4k＋3能被4整除D．a4k＋4能被4整除答案D解析假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，即a4k能被4整除，然后应证明当n＝k＋1时，即a4(k＋1)＝a4k＋4能被4整除．5．设f(n)＝1＋12＋13＋14＋⋯＋12n－1，则f(k＋1)－f(k)等于()A.12k＋1－1B.12k＋12k＋1＋12k＋1－1C.12k＋12k＋1－1D.12k＋12k＋1答案D解析当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(k)＝1＋12＋13＋⋯＋12k－1，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋12＋13＋⋯＋12k－1＋12k＋12k＋1，所以f(k＋1)－f(k)＝12k＋12k＋1.6．用数学归纳法证明“42n－1＋3n＋1(n∈N＋)能被13整除”的第二步中，当n＝k＋1时为了使用归纳假设，对42k＋1＋3k＋2变形正确的是()A．16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1B．4×42k＋9×3kC．(42k－1＋3k＋1)＋15×42k－1＋2×3k＋1D．3(42k－1＋3k＋1)－13×42k－1答案A解析假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，42n－1＋3n＋1能被13整除，则当n＝k＋1时，42k＋1＋3k＋2＝16·42k－1＋3·3k＋1＝16(42k－1＋3k＋1)－13×3k＋1.7．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋⋯＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋都成立，那么a，b，c的值为()A．a＝12，b＝c＝14B．a＝b＝c＝14C．a＝0，b＝c＝14D．a，b，c不存在答案A解析令n等于1,2,3，得1＝3a－b＋c，1＋2×3＝92a－b＋c，1＋2×3＋3×32＝273a－b＋c，解得a＝12，b＝c＝14.8．已知n为正偶数，用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋⋯－1n＝21n＋2＋1n＋4＋⋯＋12n时，若已假设n＝k(k≥2且为偶数)时，等式成立，则还需要用归纳假设再证()A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立答案B解析偶数k的后继偶数为k＋2，故应再证n＝k＋2时等式成立．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．用数学归纳法证明cosα＋cos3α＋⋯＋cos(2n－1)α＝sin2nα2sinα(sinα≠0，n∈N＋)，在验证当n＝1时，等式右边的式子是________．答案cosα解析当n＝1时，右边sin2α2sinα＝2sinαcosα2sinα＝cosα.10．仔细观察下列不等式：1＋11>3，1＋111＋13>5，1＋111＋131＋15>7，1＋111＋131＋151＋17>9，则第n个不等式为______________________________．答案1＋111＋131＋15⋯·1＋12n－1>2n＋1(n∈N＋)11．观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋⋯＋17>32，1＋12＋13＋⋯＋115>2,1＋12＋13＋⋯＋131>52，⋯，由此猜测第n个不等式为____________________________．答案1＋12＋13＋⋯＋12n－1>n2(n∈N＋)解析1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，31＝25－1，归纳第n个式子为1＋12＋13＋⋯＋12n－1>n2(n∈N＋)．12．设n∈N＋，f(n)＝5n＋2·3n－1＋1，通过计算n＝1,2,3,4时f(n)的值，可以猜想f(n)能被数值________整除．答案8三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分)13．用数学归纳法证明：当n∈N＋时，11×3＋13×5＋⋯＋12n－12n＋1＝n2n＋1.证明(1)当n＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即11×3＋13×5＋⋯＋12k－12k＋1＝k2k＋1.则当n＝k＋1时，11×3＋13×5＋⋯＋12k－12k＋1＋12k＋12k＋...
