【成才之路】-学年高中数学第一章推理与证明单元综合测试北师大版选修2-2时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”()A．各正三角形内一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点[答案]C[解析]正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形表示的侧面，所以边的中点对应的就是正三角形的中心．故选C.2．已知f(x)＝是奇函数，那么实数a的值等于()A．1B．－1C．0D．±1[答案]A[解析]方法一：函数的定义域为R，函数为奇函数，则x＝0时f(0)＝0，即＝0，∴a＝1.方法二：根据奇函数的定义，f(－x)＝－f(x)恒成立，即＝－恒成立，即＝－恒成立，即2a＋a·2x＋1＝2x＋1＋2，∴a＝1.3．不等式a＞b与＞同时成立的充要条件为()A．a＞b＞0B．a＞0＞bC.＜＜0D.＞＞0[答案]B[解析]⇔⇔⇔a＞0＞b，故选B.4．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解[答案]C[解析]至少有两个解包含：有两解，有一解，无解三种情况．5．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋[答案]D[解析] f(n)＝＋＋＋…＋∴f(n)中共有n2－n＋1项．f(2)＝＋＋＝＋＋6．数列{an}中前四项分别为2，，，，则an与an＋1之间的关系为()A．an＋1＝an＋6B.＝＋3C．an＋1＝D．an＋1＝[答案]B[解析]观察前四项知它们分子相同，分母相差6，∴{}为等差数列．7．(·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V，则r＝()A.B.C.D.[答案]C[解析]将△ABC的三条边长a、b、c类比到四面体P－ABC的四个面面积S1、S2、S3、S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，∴V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，∴r＝.8．已知a、b、c、d为正数，S＝＋＋＋，则()A．0＜S＜1B．1＜S＜2C．2＜S＜3D．3＜S＜4[答案]B[解析]S＝＋＋＋＜＋＋＋＝2，又S＞＋＋＋＝1，所以1＜S＜2，故选B.9．(·银川模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(k∈N＋)B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(k∈N＋)C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(k∈N＋)D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N＋)[答案]B[解析] n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，即假设n＝2k－1时正确，再推第k＋1个正奇数，即n＝2k＋1时正确．10．(·北京理，8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A．2人B．3人C．4人D．5人[答案]B[解析]用A，B，C分别表示优秀，及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B的也最多只有1个，得C的也最多只有1个，因此学生最多只有3个，显然，(AC)(BB)(CA)满足条件，故学生最多3个．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．(·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，...
