高二数学学案（选修2-3）第三章审稿人：高二数学组13.1回归分析的基本思想及其初步应用学习目标：1.能知道用回归分析处理两个变量之间的不确定关系的统计方法2.会利用散点图分析两个变量是否存在相关关系.会利用残差及2R来刻画线性回归模型的拟合效果3.能记住建立回归模型的方法和步骤；能知道如何利用线性回归模型求非线性回归模型学习重点：建立变量之间的线性回归方程，能根据散点图初步判断两个变量之间是否具有线性关系学习难点：1.会求线性回归方程2.掌握建立回归模型的步骤，会选择回归模型，特别是非线性回归模型学习过程：一、知识探究1.回归分析（1）函数关系是一种关系，而相关关系是一种关系（2）回归分析是对具有关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法（3）对于一组具有线性相关关系的数据,,,,2211yxyx⋯nnyx,，回归直线axby的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=，a其中xy，称为样本点的中心（4）相关系数r：衡量两个变量之间线性关系的强弱计算公式：r=注：①0r时，表明两个变量相关；0r时，表明两个变量相关②r越接近于，表明两个变量线性相关性越强r越接近于，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系高二数学学案（选修2-3）第三章审稿人：高二数学组22.线性回归模型在线性回归模型eabxy（其中ba和为模型的未知参数）中，e称为，自变量x称为，因变量y称为探究：①产生随机误差的原因②线性回归模型与一次函数的不同3.残差(1)定义:在回归分析中，对应于样本点,,,,2211yxyx⋯nnyx,的随机误差),,2,1(niei的估计值称为相应于点iiyx,的(2)残差图：以为横坐标，为纵坐标作出的图形称为残差图.注：残差图是用来刻画回归效果的，判断依据是残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高(3)残差分析：在研究两个变量间的关系时，首先要根据来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据.然后，通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在，这方面的分析工作称为残差分析4.相关指数2R相关指数2R可以用来刻画回归的效果，其计算公式是2R=在线性回归模型中，2R越大，意味着残差平方和niiiyy12越小，即模型的拟合效果，2R越小，意味着残差平方和越大，即模型的拟合效果注：在含有一个解释变量的线性回归模型中，2R恰好等于相关系数r的平方高二数学学案（选修2-3）第三章审稿人：高二数学组35.非线性回归方程当回归方程不是形如Rbaabxy,时，称之为，非线性回归方程也可以（1）将幂函数型函数naxy（a为常数，yxa,,均取正值）化为线性函数：将naxy两边取常用对数，则有，令abxylg,lg,lg代入上式得（其中bn,是常数），其图象是一条直线（2）将指数型函数xcay（caca,,0,0为常数，且0a）化为线性函数：将xcay两边取常用对数，则有，令adcbylg,lg,lg代入上式得（其中bd,是常数），其图象是一条直线6.建立回归模型的基本步骤：（1）确立研究对象，明确哪个变量是，那个变量是（2）画好确定好的解释变量和预报变量的，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）（3）由经验确定回归方程的类型（4）按一定规则（如最小二乘法）估计回归方程中的参数（5）得出结果后分析残差图是否有异常（如个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等），若存在差异，则检验数据是否有误，或模型是否合适等注：有关回归方程需要注意下列问题①回归方程只适用于我们所研究的样本的总体②我们所建立的回归方程一般都有时间性③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围④不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值二、理论迁移例1：（1）如果记录了yx,的几组数据分别为),10,3(),7,2(),4,1(),1,0(则y关于x的线性回归直线必过点（）高二数学学案（选修2-3）第三章审稿人：高二数学组4A.)2,2(B.)2,15(C.)2,1(D.)5.5,5.1(（2）下列四个命题中正确是（）①在线性回归模型中，+ebxa是预报真实值y的随机误差，它是一个观测的量；②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；③用2R来刻画回归方程，2R越小，拟合的效果越好；④在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域...
