实用标准文案文档高等代数II期末复习提纲及题型第九章欧几里得空间一、基本理论、基本定理1、欧氏空间中的内积,的4个条件：(1)),(,；(2)),(),(kk；(3)),(),(),(；(4)0),(，当且仅当0时有0),(。常用欧氏空间的内积定义：nR中的内积定义-----对于),...,,(21naaa，nnRbbb),...,,(21，内积的定义是nnbababa...),(2211),(baC中的内积定义-----对于),()(),(baCxgxf，内积的定义是badxxgxfxgxf)()())(),((，特别)1,1(C的内积定义是11)()())(),((dxxgxfxgxf。2、欧氏空间的维数并没有什么限制，可以是有限维的，也可以是无限维的。3、向量的长度的定义：),(||，),(||2。性质||||||kk。注意k的绝对值。向量的夹角的定义：||||),(,cos。长度=1的向量，称为单位向量。向量的单位化||。4、Cauchy不等式：|||||),(|，或者是),)(,(),(2。当,是线性相关时，取等号：|||||),(|。当,是线性无关时，取不等号：|||||),(|。5、向量的正交或者垂直：如果向量,的夹角是90度或者内积0),(，称,正交。如果向量,是正交的，则有勾股定理：222||||||。推广：如果向量组s,,1是两两正交的，则有22121||||||ss。6、欧氏空间的基n,,1的度量矩阵的(1)定义：),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnnA；(2)度量矩阵的性质：度量矩阵是一个对称矩阵；度量矩阵是正定矩阵；不同基的度量矩阵是合同的。如果向量nnnnyyxx1111,，则内积),(),(1111nnnnyyxxnninjnnnnnnnjijiyyyxxxyx211121222121211121),(),(),(),(),(),(),(),(),(),...,,(),(实用标准文案文档7、正交向量组的定义：一组两两正交的非零向量。特别：单个非零向量也算正交向量组。性质：（1）正交向量组是线性无关的（掌握其证明的过程）。（2）在n维欧氏空间中，正交向量组所含向量的个数不能超过n个。8、正交基的定义：n维欧氏空间中，n个两两正交的向量组成的正交向量组，称为一个正交基。标准正交基的定义：由单位向量组成的正交基，称为标准正交基。9、如果n,,1是正交基，则jiji,0),(，所以正交基n,,1的度量矩阵),(000),(000),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(2211212221212111nnnnnnnnA是一个对角矩阵。如果n,,1是一组标准正交基，则jijiji,0,1),(，因此，标准正交基n,,1的度量矩阵EAnnnnnn100010001),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111，即标准正交基的度量矩阵是单位矩阵E。10、标准正交基n,,1的简单性质：（1）向量的坐标可以通过内积简单地表示出来：nn),(...),(),(2211。例如)21,21,21,21(,)123,121,121,121(,)0,62,61,61(,)0,0,21,21(2221是4R的一组标准正交基，则向量)4,3,2,1(在此标准正交基下的坐标是。（2）如果nnnnyyxx1111,，n,,1是标准正交基，则内积nnyxyx11),(，长度2212||nxx。11、向量组的正交化方法：把基n,,1化成标准正交基，先化成正交基（组），再单位化化成标准正交基。（1）正交化步骤：222231111333111122211),(),(),(),(,),(),(,111122221111),(),(),(),(),(),(nnnnnnnnn这时向量组n,,,,321就是正交基。实用标准文案文档（2）再进行向量的单位化：令||,,||,||,||333222111nnn，则向量组n,,,,321就是标准正交基。12、从上面的正交化方法的具体过程可以知道，,11,),(),(),(),(2111121111222322223111132223222231111333),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nnnnnnnnnn12111111111???),(),(),(),(因此，基n,,1到正交基n,,,,321的过渡矩阵是一上三角形的矩阵，而且上三角形矩阵的主对角线上的元素都=1。如果改成n,,1到标准正交基n,,,,321的过渡矩阵，仅是一个上三角的矩阵，但主对角线上的元素不是=1。13、正交矩阵的定义及性质：（1）定义：n阶实矩阵A，如果满足EAA/，则称A是正交矩阵。（2）性质：如果A是正交矩阵，则其行列式1||A，即正交矩阵的行列式=1。如果A是正交矩阵，则/1AA。如果矩阵nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211...........是一个正交矩阵，则A中任一列元素的平方和=1；任一行元素的平方和也=1；任意两列对应元素的乘积之和=0；任意两行元素的对应元素的乘积之和也=0。例如矩阵62616131313102121A就是一个正交矩阵。14、欧氏空间的同构（或者同构映射）的定义：如果是欧氏空间V到V1的一个双射，并且...
