第1页（共31页）平面向量【考情上线】1.平面向量这部分知识本身很重要，作为工具性知识广泛应用于三角函数、解析几何、立体几何的教学中，以填空题考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题，向量的基本运算可以为真空题，也可以为中档的解答题，向量与数列、不等式、函数等代数内容的综合问题对学生的能力考查有较高的要求，以解答题考查圆锥曲线中的典型问题，此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主。平面向量的基本概念及线性运算【知识回顾】一、向量的有关概念及表示方法1.向量：既有大小又有方向的量。向量一般用cba,,⋯⋯来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：ABuuur几何表示法ABuuur，ar；坐标表示法),(yxjyixa。2.向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,ABauurr的模分别记作|ABuuur|和||ar。注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。3.几类特殊向量（1）零向量：长度为0的向量，记为0r，其方向是任意的，0r与任意向量平行，零向量a＝0r｜a｜＝0。由于0r的方向是任意的，且规定0r平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）（2）单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a为单位向量0||1auur。将一个向量除以它的模即得到单位向量，如ar的单位向量为：||aaearrr（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，称为平行向量。记作a∥b。规定：0r与任何向量平等，任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。（4）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。记作ar。关于相反向量有：①零向量的相反向量仍是零向量，②)(a=a；③()0aavvv；④若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0。（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为ba。相等向量经过平移后总可以重合。第2页（共31页）arbrabrrABC二、向量的线性运算1.向量加法（1）定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法设,ABaBCbuuuruuurrr，则a+br=ABBCuuuruuur=ACuuur。规定：aaa00；（2）向量加法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则”①用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。②三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。注：当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ABBCCDPQQRARuuuruuuruuuruuuruuuruuurL，但这时必须“首尾相连”。（3）向量加法的运算律：①交换律：abbarrrr②结合律：()()abcaacrrrrrr2.法向量的减（1）定义：若axbrrr则向量xr叫做ar与br的差，记为barr。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。（2）向量减法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则”①三角形法则：当,abrr有共同起点时，abrr表示为从减向量b的终点指向被减向量a的终点的向量。②平行四边形法则：两个已知向量是要共始点的，差向量是如图所示的对角线。设,ABaACbuuurruuurr则a-br=ABACCBuuuruuuruuur.3.实数与向量的积（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作ar，它的长度与方向规定如下：①aa；②当0时，ar的方向与a的方向相同；当0时，ar的方向与a的方向相反；当0时，0a，方向是任意的。（2）数乘向量的运算律①()()aarr；②()aaarrr；③()ababrrrr。三、向量共线定理1.定理：若ar与br是两个非零向量，则arbr共线有且只有一个实数，使得barr，即//(0)abbaarrrrrr2.推论：若ar与br是两个非零向量，则arbr共线存在两个均不为零的实数、，使得0abrrr，3.应用：可以证明三点共线：ABACABCuuuruuu...
