考点49离散型随机变量的分布列、均值与方差【考纲要求】要会求与现实生活有密切联系的离散型随机变量的分布列，掌握两点分布与超几何分布列，并会应用．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.【命题规律】离散型随机变量的期望与方差的应用，是高考的重要考点，不仅考查学生的理解能力与数学计算能力，而且不断创新问题情境，突出学生运用概率、期望与方差解决实际问题的能力，以解答题为主，中等难度．【典型高考试题变式】随机变量X的分布列和数学期望例1.【2017浙江】已知随机变量i满足P（i=1）=pi，P（i=0）=1—pi，i=1，2．若0
2D()C．1E()>2E()，1D()<2D()D．1E()>2E()，1D()>2D()【答案】A【解析】112212(),(),()()EpEpEEQ111222121212()(1),()(1),()()()(1)0DppDppDDppppQ，故选A．【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i服从两点分布，由两点分布均值与方差公式可得A正确．【变式1】【2017浙江省嘉兴市第一中学适应性考试】随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝（）X02aP16p13A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】1111632p，1110223623EXaa，所以2221110222321623DX，所以22324DXDX，故选C.【变式2】【2017四川凉山州一诊】设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差DX（）A.2B.1C.23D.34【答案】C例2.【2017天津】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234．（1）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【分析】（1）由题可得X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，然后列出随机变量X的分布列并计算其数学期望；（2）设Y表示第1辆车遇到红灯的个数，Z表示第2辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯包括：第1辆遇到1个红灯且第2辆没遇到红灯、第1辆没遇到红灯且第2辆遇到1个红灯，求这两个事件的概率的和即可．【解析】（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．1111(0)(1)(1)(1)2344PX，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424PX，1111111111(2)(1)(1)(1)2342342344PX，1111(3)23424PX．所以，随机变量X的分布列为X0123P14112414124随机变量X的数学期望1111113()012342442412EX．【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列及数学期望是理科高考数学的必考题型．求离散型随机变量概率分布列问题时，首先要清楚离散型随机变量的所有可能取值，及随机变量取这些值时所对应的事件的概率，计算出概率值后即可列出离散型随机变量的概率分布列，最后按照数学期望的公式计算出数学期望．【变式1】本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按l小时计算）．有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率，（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望E．【解析】（1）所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为1111428P付2元为2111248P付4元为31114416P则所付费用相同的概率为1231115881616PPPP（6分）（2）设甲、乙所付费用之和为，可为0,2,4,6,81081...
