【成才之路】-学年高中数学2.2.3第1课时直线与圆的位置关系基础巩固北师大版必修2一、选择题1.直线4x+3y-40=0与圆x2+y2=100的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.相切或相离[答案]C[解析]圆心O到直线的距离d==8<10=r,∴直线与圆相交.2.直线y=kx被圆x2+y2=2截得的弦AB长等于()A.4B.2C.2D.[答案]C[解析]直线y=kx过圆心,被圆x2+y2=2所截得的弦长恰为圆的直径2,故选C.3.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为()A.x+y-2=0B.x+y-4=0C.x-y+4=0D.x-y+2=0[答案]D[解析]设所求切线方程为y-=k(x-1).解法一:⇒x2-4x+(kx-k+)2=0.该二次方程应有两个相等实根,则Δ=0,解得k=.∴y-=(x-1),即x-y+2=0.解法二:点(1,)在圆x2+y2-4x=0上,∴点P为切点,从而圆心与P的连线应与切线垂直.又 圆心为(2,0),∴·k=-1.解得k=,∴切线方程为x-y+2=0.解法三:把x2+y2-4x=0配方,得(x-2)2+y2=22,圆心坐标为(2,0),而过点P的半径所在直线的斜率为-,则切线斜率为,由此排除A、B,再代入P(1,),排除C.4.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是()A.[-3,-1]B.[-1,3]C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)[答案]C[解析]本题考查直线与圆的位置关系.圆的圆心为(a,0),半径为,所以≤,即|a+1|≤2,∴-2≤a+1≤2,∴-3≤a≤1,几何法是解决直线与圆交点个数问题的常规方法.5.圆(x+1)2+(y+2)2=8上与直线x+y+1=0的距离等于的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个[答案]C[解析]圆心到直线的距离d==,r=2,所以直线与圆相交.又r-d=,所以劣弧上到直线的距离等于的点只有1个,在优弧上到直线距离等于的点有2个.6.(陕西高考)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定[答案]B[解析]本题考查直线与圆的位置关系判定,点到直线距离公式等.由点(a,b)在圆x2+y2=1外知a2+b2>1,而圆心(0,0)到直线ax+by=1的距离为d=<1,所以直线与圆相交.二、填空题7.已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________.[答案][解析]本题考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式以及运算能力.由题意知切线的斜率存在,设为k,切线方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,由点到直线的距离公式,得=,解得k=-,∴切线方程为-x-y+=0,令x=0,y=,令y=0,x=5,∴三角形面积为S=××5=.8.(·湖北理,12)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=________.[答案]2[解析]本题考查直线与圆的位置关系.依题意,圆心O(0,0)到两直线l1:y=x+a,l2:y=x+b的距离相等,且每段弧长等于圆周的,即==1×sin45°=,得|a|=|b|=1.故a2+b2=2.三、解答题9.在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.[解析](1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0).故可设圆心C为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.则圆C的半径为=3.所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a2>0.因此x1,2=,从而x1+x2=4-a,x1x2=.①由OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②由①②得a=-1,满足Δ>0,故a=-1.一、选择题1.直线a(x+1)+b(y+1)=0与圆x2+y2=2的位置关系是()A.相切B.相离C.相切或相交D.相切或相离[答案]C[解析]直线过定点(-1,-1),而点(-1,-1)恰巧是圆x2+y2=2上一点,故直线与圆相切或相交.2.如果实数x,y满足(x-2)2+y2=3,那么的最大值是()A.B.C.D.[答案]D[解析]=,即圆(x-2)2+y2=3上的点和原点(0,0)连线斜率的最大值.如图所示,OA取得最大值kOA=.故选D.二、填空题3.已知圆...