2.3.2抛物线的简单几何性质一、选择题1．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k，－2)与F点的距离为4，则k的值是()A．4B．4或－4C．－2D．2或－2[答案]B[解析]由题意，设抛物线的标准方程为：x2＝－2py，由题意得，＋2＝4，∴p＝4，x2＝－8y.又点(k，－2)在抛物线上，∴k2＝16，k＝±4.2．抛物线y＝x2(m<0)的焦点坐标是()A.B.C.D.[答案]A[解析] x2＝my(m<0)，∴2p＝－m，p＝－，焦点坐标为，即.3．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5,2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为()A．y2＝－2xB．y2＝－4xC．y2＝2xD．y2＝－4x或y2＝－36x[答案]B[解析]由题意，设抛物线的标准方程为：y2＝－2px(p>0)，由题意，得＋5＝6，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝－4x.4．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝()A．2或－2B．－1C．2D．3[答案]C[解析]由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，则＝4，即k＝2.5．(·陕西文，9)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A.B．1C．2D．4[答案]C[解析]本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系．抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，由题意知，3＋＝4，p＝2.6．等腰Rt△AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是()A．8p2B．4p2C．2p2D．p2[答案]B[解析] 抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，∴由抛物线的对称性，知直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.由方程组，得，或.∴A、B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)．∴|AB|＝4p.∴S△AOB＝×4p×2p＝4p2.7．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是()A.B.C.D.[答案]B[解析]由已知得抛物线方程为y2＝4x，直线方程为2x＋y－4＝0，抛物线y2＝4x的焦点坐标是F(1,0)，到直线2x＋y－4＝0的距离为d＝＝.8．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1等于()A．45°B．60°C．90°D．120°[答案]C[解析]由抛物线的定义得，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A1AF＋∠B1BF＝360°，且∠A1AF＋∠B1BF＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2(∠2＋∠4)＝180°，即∠2＋∠4＝90，故∠A1FB＝90°.9．(·全国Ⅰ，5)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于()A.B．2C.D.[答案]C[解析]本题主要考查圆锥曲线的有关知识．双曲线的渐近线方程为y＝±x. 渐近线与y＝x2＋1相切，∴x2±x＋1＝0有两相等根，∴Δ＝－4＝0，∴b2＝4a2，∴e＝＝＝＝.10．(·辽宁理，7)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()A．4B．8C．8D．16[答案]B[解析]如图，KAF＝－，∴∠AFO＝60°， |BF|＝4，∴|AB|＝4，即P点的纵坐标为4，∴(4)2＝8x，∴x＝6，∴|PA|＝8＝|PF|，故选B.二、填空题11．抛物线y2＝16x上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是________．[答案](2，±4)[解析]设抛物线y2＝16x上的点P(x，y)由题意，得(x＋4)2＝x2＋y2＝x2＋16x，∴x＝2，∴y＝±4.12．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为________．[答案]2[解析]由题意，设A点坐标为(x,2)，则x＝3，又焦点F(1,0)，∴焦点到AB的距离为2.13．已知F为抛物线y2＝2ax(a>0)的焦点，点P是抛物线上任一点，O为坐标原点，以下四个命题：(1)△FOP为正三角形．(2)△FOP为等腰直角三角形．(3)△FOP为直角三角形．(4)△FOP为等腰三角形．其中一定不正确的命题序号是________．[答案]①②[解析] 抛物线上的点到焦点的距离最小时，恰好为抛物线顶点，∴①错误．若△FOP为等腰直角三角形，则点P的横纵坐标相等，这显然不可能，故②错误．14．(·宁夏、海南)已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．[答案]y2＝4x[解析]设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x2－kx＝...
