2.2.1导数的运算法则一、选择题1．函数y＝的导数是()A．－B．－sinxC．－D．－[答案]C[解析]y′＝′＝＝.2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是()A.B.C.D.[答案]D[解析]f′(x)＝3ax2＋6x，∵f′(－1)＝3a－6，∴3a－6＝4，∴a＝.3．曲线运动方程为s＝＋2t2，则t＝2时的速度为()A．4B．8C．10D．12[答案]B[解析]s′＝′＋(2t2)′＝＋4t，∴t＝2时的速度为：s′|t＝2＝＋8＝8.4．函数y＝(2＋x3)2的导数为()A．6x5＋12x2B．4＋2x3C．2(2＋x3)2D．2(2＋x3)·3x[答案]A[解析]∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，∴y′＝6x5＋12x2.5．下列函数在点x＝0处没有切线的是()A．y＝3x2＋cosxB．y＝xsinxC．y＝＋2xD．y＝[答案]C[解析]∵函数y＝＋2x在x＝0处无定义，∴函数y＝＋2x在点x＝0处没有切线．6．函数y＝sin的导数为()A．－cosB．cosC．－sinD．－sin[答案]D[解析]∵y＝sincosx－cos·sinx＝cosx－sinx，∴y′＝(－sinx)－cosx＝－(sinx＋cosx)＝－sin，故选D.7．已知函数f(x)在x＝x0处可导，函数g(x)在x＝x0处不可导，则F(x)＝f(x)±g(x)在x＝x0处()A．可导B．不可导C．不一定可导D．不能确定[答案]B8．(x－5)′＝()A．－x－6B.x－4C．－5x－6D．－5x4[答案]C[解析](x－5)′＝－5x－6.9．函数y＝3x(x2＋2)的导数是()A．3x2＋6B．6x2C．9x2＋6D．6x2＋6[答案]C[解析]∵y＝3x(x2＋2)＝3x3＋6x，∴y′＝9x2＋6.10．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1)B．f(x)＝2(x－1)C．f(x)＝2(x－1)2D．f(x)＝x－1[答案]A[解析]f(x)＝(x－1)2＋3(x－1)＝x2＋x－2，f′(x)＝2x＋1，f′(1)＝3.二、填空题11．若函数f(x)＝，则f′(π)________________．[答案][解析]f′(x)＝＝，∴f′(π)＝＝.12．曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是____________．[答案][解析]由得交点为(1,1)，y′＝′＝－，y′＝(x2)′＝2x，∴曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为x＋y－2＝0，曲线y＝x2在点(1,1)处的切线方程为2x－y－1＝0，两切线与x轴所围成的三角形的面积为.13．设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，若已知f′(x)＝xcosx，则f(x)＝________.[答案]xsinx＋cosx[解析]∵f′(x)＝[(ax＋b)sinx]′＋[(cx＋d)cosx]′＝(ax＋b)′sinx＋(ax＋b)(sinx)′＋(cx＋d)′cosx＋(cx＋d)(cosx)′＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx＝(a－d－cx)sinx＋(ax＋b＋c)cosx.为使f′(x)＝xcosx，应满足解方程组，得从而可知，f(x)＝xsinx＋cosx.14．设f(x)＝lna2x(a>0且a≠1)，则f′(1)＝________.[答案]2lna[解析]∵f(x)＝lna2x＝2xlna，∴f′(x)＝(2xlna)′＝2lna(x)′＝2lna，故f′(1)＝2lna.三、解答题15．求下列函数的导数．(1)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；(2)＋；(3)f(x)＝.[解析](1)∵f′(x)＝[2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5]′，∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.(2)∵f(x)＝＋＝＋＝＝－2，∴f′(x)＝′＝＝.(3)f′(x)＝′＝′＋′＝＋＝＝.16．已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．[解析]题设中有四个参数a、b、c、d，为确定它们的值需要四个方程．由f(2x＋1)＝4g(x)，得4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d.于是有由f′(x)＝g′(x)，得2x＋a＝2x＋c，∴a＝c.③由f(5)＝30，得25＋5a＋b＝30.④∴由①③可得a＝c＝2.由④得b＝－5，再由②得d＝－.∴g(x)＝x2＋2x－.故g(4)＝16＋8－＝.17．(·湖北文，21)设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1.求b，c的值．[解析]由f(x)＝x3－x2＋bx＋c，得f(0)＝c，f′(x)＝x2－ax＋b，f′(0)＝b，又由曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，得f(0)＝1，f′(0)＝0，故b＝0，c＝1.18．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线，求f(x)、g(x)的表达式．[解析]∵f(x)＝2x3＋ax图象过点P(2,0)，∴a＝－8.∴f(x)＝2x3－8x.∴f′(x)＝6x2－8.对于g(x)＝bx2＋c，图象过点P(2,0)，则4b＋c＝0.又g′(x)＝2bx，g′(2)＝4b＝f′(2)＝16，∴b＝4.∴c＝－16.∴g(x)＝4x2－16.综上，可知f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.
