§3二倍角的三角函数(二)课时目标1．了解半角公式及推导过程．2．能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换．3．了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．1．半角公式(1)S：sin＝___________________________________________________________；(2)C：cos＝___________________________________________________________；(3)T：tan＝____________________________________________________(无理形式)＝__________________＝__________________________________________(有理形式)．2．辅助角公式使asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)成立时，cosφ＝______________________，sinφ＝______________，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos的值等于()A．－B．C．－D．2．函数y＝sin＋sin的最大值是()A．2B．1C．D．3．函数f(x)＝sinx－cosx，x∈的最小值为()A．－2B．－C．－D．－14．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是()A．B．C．D．5．函数f(x)＝sinx－cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是()A．B．C．D．6．若cosα＝－，α是第三象限的角，则等于()A．－B．C．2D．－2二、填空题7．函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是______．8．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是________．9．已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正切值为________．10．年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于____．三、解答题11．已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．12．已知向量m＝(cosθ，sinθ)和n＝(－sinθ，cosθ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝，求cos的值．能力提升13．当y＝2cosx－3sinx取得最大值时，tanx的值是()A．B．－C．D．414．求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值．1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tanφ＝(或sinφ＝，cosφ＝)．3．研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如sinx±cosx＝sin；sinx±cosx＝2sin等．§3二倍角的三角函数(二)答案知识梳理1．(1)±(2)±(3)±2．点(a，b)作业设计1．C2．B[y＝2sinxcos＝sinx．]3．D[f(x)＝sin，x∈．∵≤－x≤－，∴f(x)min＝sin＝－1．]4．D[f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin．当θ＝π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x．]5．D[f(x)＝2sin，f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，令k＝0得增区间为．]6．A[∵α是第三象限角，cosα＝－，∴sinα＝－．∴＝＝＝·＝＝＝－．]7．π解析f(x)＝sin2x－cos2x－(1－cos2x)＝sin2x＋cos2x－＝sin(2x＋)－，∴T＝＝π．8．解析设α为该等腰三角形的一底角，则cosα＝，顶角为180°－2α．∴sin(180°－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝2·＝．9．3解析设该等腰三角形的顶角为α，则cosα＝，底角大小为(180°－α)．∴tan＝tan＝＝＝＝3．10．解析由题意，5cosθ－5sinθ＝1，θ∈．∴cosθ－sinθ＝．由(cosθ＋sinθ)2＋(cosθ－sinθ)2＝2．∴cosθ＋sinθ＝．∴cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ)＝．11．解(1)∵f(x)＝sin2＋1－cos2＝2＋1＝2sin＋1＝2sin＋1，∴T＝＝π．(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．12．解m＋n＝(cosθ－sinθ＋，cosθ＋sinθ)，|m＋n|＝＝＝＝2．由已知|m＋n|＝，得cos＝．又cos＝2cos2－1，所以cos2＝．∵π<θ<2π，∴<＋<．∴cos<0．∴cos＝－．13．B[y＝2cosx－3sinx＝＝(sinφcosx－cosφsinx)＝sin(φ－x)，当sin(φ－x)＝1，φ－x＝2kπ＋时，y取到最大值．∴φ＝2kπ＋＋x，(k∈Z)∴sinφ＝cosx，cosφ＝－sinx，∴cosx＝sinφ＝，sinx＝－cosφ＝－．∴tanx＝－．]14．解3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos60°＋5cos(x＋20°)sin60°＝sin(x＋20°)＋cos(x＋20°)＝sin(x＋20°＋φ)＝7sin其中cosφ＝，sinφ＝．所以f(x)max＝7．
