3.2双曲线的简单性质课时目标了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，会根据几何性质求双曲线方程，及学会由双曲线的方程研究几何性质．1．双曲线的简单几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)范围对称性关于______轴对称关于原点对称顶点(a,0)，(－a,0)渐近线y＝±x离心率e＝>12.(1)双曲线的对称中心叫做双曲线的________；(2)双曲线－＝1的两个顶点为A1(－a,0)、A2(a，0)．设B1(0，－b)、B2(0，b)，线段A1A2叫做双曲线的________，它的长等于2a，a叫做双曲线的半实轴长，线段B1B2叫做双曲线的________，它的长等于2b，b叫做双曲线的半虚轴长．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x.(3)当双曲线的离心率e由小变大时，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得________，原因是＝，当e增大时，也增大，渐近线的斜率的绝对值________．一、选择题1．下列曲线中离心率为的是()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝12．双曲线－＝1的渐近线方程是()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的方程为()A．2x2－4y2＝1B．2x2－4y2＝2C．2y2－4x2＝1D．2y2－4x2＝34．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±xD．y＝±x5．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.B.C．2D.题号123456答案二、填空题7．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e＝______.8．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，2)的双曲线方程为__________．三、解答题10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点，且一条渐近线为4x＋3y＝0；(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)求此双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；(3)求△F1MF2的面积．能力提升12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.B.C.D.13．F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，又离心率为2，求双曲线的方程．1．双曲线－＝1(a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b；其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a.2．双曲线的离心率e＝的取值范围是(1，＋∞)，其中c2＝a2＋b2，且＝，离心率e越大，双曲线的开口越大．可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．3．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，也可记为－＝0；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为－＝λ(λ≠0)．3．2双曲线的简单性质知识梳理1.标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)范围x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a对称性关于x、y轴对称关于原点对称顶点(a,0)，(－a,0)(0，a)，(0，－a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝>1e＝>12.(1)中心(2)实轴虚轴(3)开阔增大作业设计1．B[ e＝，∴e2＝＝，∴＝，故选B.]2．A3．C[由于椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为，则双曲线的焦点坐标为，又由渐近线方程为y＝x，得＝，即a2＝2b2，又由2＝a2＋b2，得a2＝，b2＝，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y2－4x2＝1.]4．C[由题意知，2b＝2,2c＝2，则b＝1，c＝，a＝；双曲线的渐近线方程为y＝±x.]5．C[点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]6．B[||PF1|－|PF2||＝2a，即3|PF2|＝2a，所以|PF2|＝≥c－a，即2a≥3c－3a，即5a≥3c，...
