3.3几个三角恒等式课时目标1．引导学生发现和探索积化和差公式、和差化积公式以及半角公式.2.通过本节学习，提高三角恒等变换的能力．1．积化和差与和差化积(不要求记忆)积化和差公式sinαcosβ＝_________________cosαsinβ＝________________cosαcosβ＝________________sinαsinβ＝________________和差化积公式sinθ＋sinφ＝______________sinθ－sinφ＝______________cosθ＋cosφ＝______________cosθ－cosφ＝______________2.半角公式(1)：sin＝__________________________________________；(2)：cos＝_______________________________________；(3)：tan＝_______________(无理形式)＝____________＝____________(有理形式)．一、填空题1．函数y＝sin＋sin的最大值是________．2．求的值为________．3．若tan＝，则cosα＝________.4．若α是第三象限角且sin(α＋β)cosβ－sinβcos(α＋β)＝－，则tan＝________.5．给出下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ；②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsinθ；③sin3θ－sin5θ＝－cos4θcosθ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcosθ；⑤sinxsiny＝[cos(x－y)－cos(x＋y)]．其中正确的命题序号是________．6．已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正切值为________．7．如果|cosθ|＝，<θ<3π，则sin的值是______．8．若cosα＝－，α是第三象限的角，则＝________.9．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)·sin(α－β)＝________.10．计算：sin4＋sin4＋sin4＋sin4＝______.二、解答题11．求值：cos40°cos80°＋cos80°cos160°＋cos160°cos40°.12．已知tan＝，求sin(α＋)的值．能力提升13．设α为第四象限的角，若＝，则tan2α＝________.14．已知向量m＝(cosθ，sinθ)和n＝(－sinθ，cosθ)，θ∈(π，2π),且|m＋n|＝，求cos(＋)的值．1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解．要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系．3．半角公式前面的正负号的选择(1)如果没有给出决定符号的条件，则要保留根号前的正负号；(2)若给出了角α的具体范围，则根号前的符号由角所在象限确定；(3)若给出的角α是某一象限的角，则由角所在象限确定符号．§3.3几个三角恒等式知识梳理1.[sin(α＋β)＋sin(α－β)][sin(α＋β)－sin(α－β)][cos(α＋β)＋cos(α－β)]－[cos(α＋β)－cos(α－β)]2sincos2cossin2coscos－2sinsin2．(1)±(2)±(3)±作业设计1．1解析y＝2sinxcos＝sinx.2．－解析原式＝＝－＝－2cos30°＝－2×＝－.3.解析cosα＝＝＝.4．－5解析易知sinα＝－，α为第三象限角，∴cosα＝－.∴tan＝＝＝＝＝－5.5．⑤6．3解析设该等腰三角形的顶角为α，则cosα＝，底角大小为(180°－α)．∴tan＝＝＝＝3.7．－解析∵<θ<3π，|cosθ|＝，∴cosθ<0，cosθ＝－.∵<<π，∴sin<0.由sin2＝＝，∴sin＝－.8．－解析∵α是第三象限角，cosα＝－，∴sinα＝－.∴＝＝＝·＝＝＝－.9．－m解析cos2α－cos2β＝(cosα＋cosβ)(cosα－cosβ)＝2coscos＝－2sincos·2sincos＝－sin(α＋β)sin(α－β)＝m，∴sin(α＋β)·sin(α－β)＝－m.10.解析原式＝sin4＋sin4＋cos4＋cos4＝(sin2＋cos2)2－2sin2cos2＋(cos2＋sin2)2－2cos2sin2＝1－sin2＋1－sin2＝2－－＝.11．解原式＝(cos120°＋cos40°)＋(cos240°＋cos80°)＋(cos200°＋cos120°)＝(cos40°＋cos80°＋cos200°)－＝(2cos60°cos20°－cos20°)－＝(cos20°－cos20°)－＝－.12．解∵tan＝，∴sinα＝2sincos＝＝＝＝，cosα＝cos2－sin2＝＝＝＝.∴sin(α＋)＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×＝.13．－解析由＝＝＝2cos2α＋cos2α＝.∵2cos2α＋cos2α＝1＋2cos2α＝，∴cos2α＝.∵α为第四象限角，∴2kπ＋<α<2kπ＋2π，(k∈Z)∴4kπ＋3π<2α<4kπ＋4π，(k∈Z)故2α可能在第三、四象限，又∵cos2α＝，∴sin2α＝－，tan2α＝－.14．解∵m＋n＝(cosθ－sinθ＋，cosθ＋sinθ)，|m＋n|＝＝＝＝2.由已知|m＋n|＝，得cos(θ＋)＝.又cos(θ＋)＝2cos2(＋)－1，所以cos2(＋)＝.∵π<θ<2π，∴<＋<.∴cos(＋)<0.∴cos(＋)＝－.
