1.3.1三角函数的周期性课时目标1．了解周期函数，函数的周期、最小正周期.2.掌握形如y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0)的函数周期计算方法T＝.3.会用函数的周期性解决简单实际问题．1．周期函数的概念一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做________________，非零常数T叫做这个函数的________．2．最小正周期的概念对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个________________，那么这个________________就叫做f(x)的最小正周期．3．y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的周期一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝______.一、填空题1．函数y＝3sin(2x＋)的最小正周期是________．2．函数f(x)＝cos的最小正周期为，其中ω<0，则ω＝________.3．已知函数f(x)＝6cos的最小正周期为，则ω＝________.4．函数y＝sin3x＋sinx·cos2x的最小正周期是____．5．若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足10)的周期为T＝.§1.3三角函数的图象和性质1．3.1三角函数的周期性知识梳理1．周期函数周期2．最小的正数最小的正数3.作业设计1．π2．－10解析本小题考查三角函数的周期公式．T＝＝⇒|ω|＝10.∵ω<0，∴ω＝－10.3．±3π解析T＝＝，∴ω＝±3π.4．2π解析y＝sin3x＋sinx·cos2x＝sinx(sin2x＋cos2x)＝sinx，周期T＝2π.5．2或3解析T＝，1<<2，<|k|<π，而k∈N⇒k＝2或3.6．7≤解析由已知3，∴|k|≥2π，而k>0，∴k≥2π，正整数k的最小值是7.7．4π解析y＝2sin－cos＋7＝2cos－cos＋7＝cos＋7，∴T＝＝4π.8．6解析由已知T＝，∴1<<3，而ω>0，∴<ω<2π.又ω∈N*，∴ω＝3,4,5,6，∴ω的最大值为6.9．－1解析f(－5)＝f(－5＋6)＝f(1)＝－f(－1)＝－1.10.解析由已知得：f＝f＝f＝f＝sin＝.11．解直接代入公式T＝＝＝.12．解∵f(x)的周期为，∴f(－)＝f(－＋3×)＝f(π)．∵π>π>0，∴f(π)＝sinπ＝sin＝，即f(－)＝.13．解f(n)＝sin＝sin(2π＋)＝sin，f(n＋6)＝sin，∴f(n)＝f(n＋6)．即6是f(n)的一个周期．又f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝sin＋sinπ＋sinπ＋sinπ＋sinπ＋sin2π＝0，且2011＝6×335＋1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)…＋＋f(2011)＝[f(1)＋f(2)…＋＋f(2010)]＋f(2011)＝f(2011)＝f(1)＝sin＝.14．证明先证明是函数f(x)＝|sinx|＋|cosx|(x∈R)的一个周期．∵f＝＋＝|cosx|＋|－sinx|＝|sinx|＋|cosx|＝f(x)，∴是函数f(x)的一个周期．假设不是函数f(x)＝|sinx|＋|cosx|(x∈R)的最小正周期，T是函数f(x)＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期，0sin2T＋cos2T＝1，矛盾．所以T不是函数f(x)＝|sinx|＋|cosx|的周期．故函数f(x)＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期是.
