第2章平面向量(A)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．与向量a＝(1，)的夹角为30°的单位向量是____________．2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4＝________.3．设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|＝2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i＝1,2,3，则b1－b2＋b3＝________.4．若a与b满足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·a＋a·b＝________.5．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝________.(用a，b表示)6．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________.7．设点A(1,2)、B(3,5)，将向量AB按向量a＝(－1，－1)平移后得到A′B′为________．8．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是________．9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.10．在菱形ABCD中，若AC＝2，则CA·AB＝________.11．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.12．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为________．13.如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是________．(填序号)①P1P2·P1P3；②P1P2·P1P4；③P1P2·P1P5；④P1P2·P1P6.14.如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA＋PB)·PC的最小值是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)．(1)若|c|＝2，且c∥a，求c；(2)若|b|＝，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求a与b的夹角．16．(14分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，(1)c∥d；(2)c⊥d.17．(14分)已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：(1)a与b的夹角；(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．18．(16分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．19．(16分)已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.20．(16分)已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1＋OP2＋OP3＝0，|OP1|＝|OP2|＝|OP3|＝1.求证：△P1P2P3是正三角形．第2章平面向量(A)1．(0,1)或(，)2．(1,2)解析根据力的平衡原理有f1＋f2＋f3＋f4＝0，∴f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．3．0解析将ai顺时针旋转30°后得a′i，则a′1－a′2＋a′3＝0.4.解析由题意得a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos60°＝1＋＝.5.a－b解析令c＝λa＋μb，则∴∴c＝a－b.6．4解析 a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又 (8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.7．(2,3)解析 AB＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量AB后得A′B′，A′B′＝AB＝(2,3)．8.解析a·b＝－3λ＋10<0，∴λ>.当a与b共线时，＝，∴λ＝－.此时，a与b同向，∴λ>.9．－1解析 a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)． (a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1.10．－2解析如图，设对角线AC与BD交于点O，∴AB＝AO＋OB.CA·AB＝CA·(AO＋OB)＝－2＋0＝－2.11．3解析a·b＝|a||b|cos30°＝2··cos30°＝3.12．6解析由(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2－12b2＝2k－12＝0，∴k＝6.13．①解析根据正六边形的几何性质．〈P1P2，P1P3〉＝，〈P1P2，P1P4〉＝，〈P1P2，P1P5〉＝，〈P1P2，P1P6〉＝.∴P1P2·P1P6<0，P1P2·P1P5＝0，P1P2·P1P3＝|P1P2|·|P1P2|cos＝|P1P2|2，P1P2·P1P4＝|P1P2|·2|P1P2|·cos＝|P1P2|2.比较可知①正确．14．－解析因为点O是A，B的中点，所以PA＋PB＝2PO，设|PC|＝x，则|PO|＝1－x(0≤x≤1)．所以(PA＋PB)·PC＝2PO·PC＝－2x(1－x)＝2(x－)2－.∴当x＝时，(PA＋PB)·PC取到最小值－.15．解(1) c∥a，∴设c＝λa...
