§2.5直线与圆锥曲线一、基础过关1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝12．已知双曲线C：x2－y2＝1，F是其右焦点，过F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l的斜率等于()A．1B．－1C．±1D．±23．双曲线－＝1(a，b>0)的一条渐近线与椭圆＋＝1(a>b>0)交于点M、N，则|MN|等于()A．a＋bB.aC.D.4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________.5．过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程为__________________．二、能力提升6．已知m，n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y＋n＝0与nx2＋my2＝mn所表示的曲线可能是()7．已知M(a,2)是抛物线y2＝2x上的一定点，直线MP、MQ的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P、Q两点，则直线PQ的斜率为()A．－B．－C.D.8．对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足y<4x0的点M(x0，y0)在抛物线的内部，若点M(x0，y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y＝2(x＋x0)与C()A．恰有一个公共点B．恰有两个公共点C．可能有一个公共点也可能有两个公共点D．没有公共点9．若倾斜角为的直线交椭圆＋y2＝1于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是________________________________________________________________________．10．在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．11．已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线y2＝－x交于A、B两点，O为坐标原点．(1)若△OAB的面积为，求k的值；(2)求证：以弦AB为直径的圆必过原点.12．已知抛物线y2＝－4x的焦点为F，其准线与x轴交于点M，过点M作斜率为k(k≠0)的直线l，与抛物线交于A、B两点，弦AB的中点为P，AB的垂直平分线与x轴交于点E(x0,0)．(1)求k的取值范围；(2)求证：x0<－3；(3)△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形？若能，求出此时的k值；若不能，请说明理由．三、探究与拓展13．已知双曲线方程为2x2－y2＝2.过定点Q(1,1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．答案1．D2．C3．C4．85．x＝0或y＝1或y＝x＋16．C7．B8．D9．x＋4y＝010．解设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，代入＋＝1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0⇒m2＝16⇒m＝±4，故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，显然y＝x－4距l最近d＝＝＝，切点为P.11．(1)解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，原点O到直线AB的距离为d，联立得，化简整理得k2x2＋(2k2＋1)x＋k2＝0，由题意知k≠0，由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，x1x2＝1.由弦长公式，得|AB|＝|x1－x2|＝·，由点到直线距离公式d＝，得S△OAB＝|AB|·d＝＝，解得k＝±.(2)证明∵kOA＝，kOB＝，∴kOA·kOB＝.∵y＝－x1，y＝－x2，∴x1x2＝(y1y2)2，∴kOA·kOB＝，又，得ky2＋y－k＝0，∴y1y2＝－1，即kOA·kOB＝－1，∴OA⊥OB，∴以弦AB为直径的圆必过原点．12．(1)解由y2＝－4x可得准线方程为x＝1，∴M(1,0)．设l的方程为y＝k(x－1)，联立得k2x2－2(k2－2)x＋k2＝0.∵A、B存在，∴Δ＝4(k2－2)2－4k4>0，∴－1
