3.2.1对数及其运算(二)一、基础过关1．若a>0且a≠1，x>0，y>0，n∈N＋，且n>1，下列命题正确的个数为()①(logax)2＝2logax，②loga(x＋y)＝logax＋logay，③＝loga，④＝loga.A．0B．1C．2D．32．化简log618＋2log6的结果是()A．－2B．2C．2D．log623．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为()A．3B．8C．4D．log484．已知3a＝5b＝A，若＋＝2，则A等于()A．15B.C．±D．2255.的值为________．6．已知logax＝1，logbx＝2，logcx＝4，则logabcx＝__________.7．(1)计算：lg－lg＋lg12.5－log89·log34；(2)已知3a＝4b＝36，求＋的值．8．计算下列各式的值：(1)lg5·lg8000＋(lg2)2＋lg＋lg0.06；(2)log155·log1545＋(log153)2.二、能力提升9．若log72＝a，log75＝b，则lg5用a，b表示为()A．abB.C.D.10．如果α，β是关于x的方程lg(3x)·lg(5x)＝1的两实数根，则α·β等于()A.B．lg15C．lg3·lg5D．1511．2log510＋log50.25＋(－)÷＝________.12．若a、b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．三、探究与拓展13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的？(结果保留1位有效数字)(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)答案1．B2.B3.A4．B5.6.7．解(1)方法一lg－lg＋lg12.5－log89·log34＝lg(××12.5)－·＝1－＝－.方法二lg－lg＋lg12.5－log89·log34＝lg－lg＋lg－·＝－lg2－lg5＋3lg2＋(2lg5－lg2)－·＝(lg2＋lg5)－＝1－＝－.(2)方法一由3a＝4b＝36得：a＝log336，b＝log436，所以＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.方法二因为3a＝4b＝36，所以36＝3,36＝4，所以(36)2·36＝32×4，即36＋＝36，故＋＝1.8．解(1)原式＝lg5(3＋3lg2)＋3lg22＋lg0.01＝3lg5＋3lg2－2＝1.(2)方法一原式＝log155(log153＋1)＋(log153)2＝log155＋log153(log155＋log153)＝log155＋log153·log1515＝log155＋log153＝log1515＝1.方法二原式＝log15(15×3)＋(log153)2＝(1－log153)(1＋log153)＋(log153)2＝1－(log153)2＋(log153)2＝1.9．B10．A11.－312．解原方程可化为2(lgx)2－4lgx＋1＝0.设t＝lgx，则方程化为2t2－4t＋1＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.又∵a、b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，∴t1＝lga，t2＝lgb，即lga＋lgb＝2，lga·lgb＝.∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lga＋lgb)·(＋)＝(lga＋lgb)·＝(lga＋lgb)·＝2×＝12，即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.13．解设这种放射性物质最初的质量是1，经过x年后，剩余量是y，则有y＝0.75x.依题意，得＝0.75x，即x＝＝＝≈＝4.∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的.
