3.2.2平面的法向量与平面的向量表示一、基础过关1．若平面α、β的法向量分别为u＝(2，－3,5)，v＝(－3，1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确2．若直线l的一个方向向量为a＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u＝(1,1，－1)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．A、C都有可能3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1,1)B.C.D.4．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，n1＝(1,2，x)，n2＝(x，x＋1，x)，则x的值为()A．1或2B．－1或－2C．－1D．－25．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于()A．2B．－4C．4D．－26．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A.B.C.D.7．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________.8．下列命题中：①若u，v分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v＝0；②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．正确的命题序号是________．9．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是________．(填序号)二、能力提升10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.11.如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：平面DEA⊥平面ECA.12.如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，AD＝AB，E是PC的中点．证明：PD⊥平面ABE.三、探究与拓展13.如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝AD＝2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD＝90°，M为AP的中点．求证：DM∥平面PCB.答案1．C2．D3．B4．B5．C6．D7．－48．①②③9．①②③10．解建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0)，F(1,2,0)，D1(0,0,2)，B1(2,2,2)．设M(2,2，m)，则EF＝(－1,1,0)，B1E＝(0，－1，－2)，D1M＝(2,2，m－2)．∵D1M⊥平面EFB1，∴D1M⊥EF，D1M⊥B1E，∴D1M·EF＝0且D1M·B1E＝0，于是∴m＝1，故取B1B的中点为M就能满足D1M⊥平面EFB1.11．证明建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA＝2，则CE＝2，BD＝1，C(0,0,0)，A(，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)．所以EA＝(，1，－2)，CE＝(0,0,2)，ED＝(0,2，－1)．分别设面CEA与面DEA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则即解得即解得不妨取n1＝(1，－，0)，n2＝(，1,2)，因为n1·n2＝0，所以两个法向量相互垂直．所以平面DEA⊥平面ECA.12．证明∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∴AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)、A(0,0,0)、B(1,0,0)、D.∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形．∴C，E.∴AB＝(1,0,0)，AE＝，∴设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝2，则z＝－，∴n＝(0,2，－)．∵PD＝，显然PD＝n，∴PD∥n，∴PD⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.13．证明取AD的中点G，连接PG，GB.∵侧面PAD⊥底面ABCD.∵PG⊥AD，∴PG⊥底面ABCD，∴PG⊥BG.又∵BG⊥AD，∴直线DA、GB、GP两两互相垂直，故可以分别以直线DA，GB，GP为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz，设PG＝a，C(x，y，z)，则可求得P(0,0，a)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，D(－a,0,0)，则GP＝(0,0，a)，AB＝(－a，a,0)，PB＝(0，a，－a)．∵AB＝2DC，且AB∥CD，∴AB＝2DC，即(－a，a,0)＝2[(x，y，z)－(－a,0,0)]．∴(x，y，z)＝，即C.∴BC＝.设n＝(x0，y0，z0)是平面PBC的法向量，则n·BC＝0且n·PB＝0，∴⇒取y0＝，得n＝(－1，，3)．∵点M是AP的中点，∴M，∴DM＝－(－a,0,0)＝.DM·n＝·(－1，，3)＝0，∴DM⊥n.∵DM⊄平面PCB，∴DM∥平面PCB.
