章末检测一、填空题1．已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，则平面α、β的位置关系为________．2．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为________．3．如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则用向量a，b，c可表示向量BD1＝______________.4．已知P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有OP＝2OA＋OB＋λOC，则λ＝________.5．已知A(2,1,0)，点B在平面xOz内，若直线AB的方向向量是(3，－1,2)，则点B的坐标是________．6．平面α的法向量为m＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为______．7．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是________．(填序号)①cosθ＝②cosθ＝③sinθ＝④sinθ＝8．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD是________三角形．(“”“”“”填锐角、直角、钝角)9．在以下命题中，不正确的个数为________．①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②对a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝2OA－2OB－OC，则P，A，B，C四点共面；④|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.10．法向量为n＝(1，－1,1)的平面α过点M(1,2，－1)，则平面α上任意一点P的坐标(x，y，z)满足的方程为____________．11．设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是________．12．如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂面M，AC⊥面M，BD⊥AB，BD与面M成30°角，则C、D间的距离为________．13．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC、AD的中点，则AE·AF的值为____________．14．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角为________．二、解答题15．已知四棱锥P—ABCD的底面是平行四边形，如图，M是PC的中点，问向量PA、MB、MD是否可以组成一个基底，并说明理由．16．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝FC1，试证明ME∥NF.17．如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上一点，CP＝m.试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.18．已知长方体ABCD—A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，F为A1B1的中点．求二面角A—BF—D的余弦值．19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝2，M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．20．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．答案1．α∥β2．90°3．－a＋b＋c4．－25．(5,0,2)6．60°或120°7．④8．锐角9．410．x－y＋z＋2＝011．412．13．a214．60°15.解PA、MB、MD不可以组成一个基底，理由如下：连结AC、BD相交于点O， ABCD是平行四边形，∴O是AC、BD的中点，在△BDM中，MO＝(MD＋MB)，在△PAC中，M是PC的中点，O是AC的中点，则MO＝PA，即PA＝MD＋MB，即PA与MD、MB共面．∴PA、MB、MD不可以组成一个基底．16．证明由平行六面体的性质ME＝MD1＋D1A1＋A1E＝C1D1－AD＋A1A＝－AB－AD－AA1，NF＝NB＋BC＋CF＝AB＋AD＋CC1＝AB＋AD＋AA1，∴ME＝－NF，又M，E，N，F不共线，∴ME∥NF.17．解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)．则BD＝(－1，－1,0)，BB1＝(0,0,1)，AP＝(－1,1，m)，AC＝(－1,1,0)．又由AC·BD＝0，AC·BB1＝0知，AC为平面BB1D1D的一个法向量．设AP与平面BB1D1D所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈AP，AC〉|＝＝依题意得＝sin60°＝，解得m＝.故当m＝时，直线AP与...
