1.3.2函数的极值与导数一、基础过关1．函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列关于函数的极值的说法正确的是()A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数3．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．94．函数y＝x3－3x2－9x(－2
0；当x∈(1∞，＋)时，f′(x)<0B．当x∈(∞－，1)时，f′(x)>0；当x∈(1∞，＋)时，f′(x)>0C．当x∈(∞－，1)时，f′(x)<0；当x∈(1∞，＋)时，f′(x)>0D．当x∈(∞－，1)时，f′(x)<0；当x∈(1∞，＋)时，f′(x)<06．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是()A．14或a<1二、能力提升7．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.8．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．9．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间内单调递增；②函数y＝f(x)在区间内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．则上述判断正确的是________．(填序号)10．求下列函数的极值：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2e－x.11．已知f(x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m为常数，且m>0)有极大值－，求m的值．12．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)当a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值．答案1．A2．D3．D4．C5．C6．B7．38．99．③10．解(1)函数的定义域为(∞－，1)∪(1∞，＋)． f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(∞－，－1)－1(－1,1)1(1,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－＋0＋f(x)－3故当x＝－1时，函数有极大值，并且极大值为f(－1)＝－.(2)函数的定义域为R，f′(x)＝2xe－x＋x2·′＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(∞－，0)0(0,2)2(2∞，＋)f′(x)－0＋0－f(x)04e－2由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且为f(0)＝0；当x＝2时，函数有极大值，且为f(2)＝4e－2.11．解 f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)，令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(∞－，－m)－mmf′(x)＋0－0＋F(x)极大值极小值∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m3＋m3＋2m3－4＝－，∴m＝1.12．解(1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：X(∞－，－)－(－，11(1，＋)∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f(－)＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1. 曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即＋a<0或a－1>0，∴a<－或a>1，∴当a∈(∞－，－)∪(1∞，＋)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．13．解(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，由a≠知，－2a≠a－2.以下分两种情况讨论：①若a>，则－2a
