基金项目：陕西教育学院科研项目（编号08kj007）作者简介：陈焕斌，男，1966年出生。汉族，陕西佳县人。硕士，副教授。主要研究方向：数学教育。电话：13509183469，Email：baojun13579@163.com从反比例函数图像与性质的教学谈起陕西教育学院数学系陈焕斌摘要：“反比例函数的图像与性质”一节课的教学有许多值得探讨的问题。特别是图象的画法，既是重点，也是难点。教学中存在诸多问题，列表、描点、连线的过程中有许多易被忽略的重要细节值得关注。所有人都知道反比例函数的图像是双曲线，但不少老师并不清楚二者之间的具体关系。事实上，任意双曲线方程均可化为的形式，反过来，此形式的方程总表示双曲线，其渐近线方程即为。据此，可以方便地确定任意双曲线的顶点、对称轴、“特征矩形”等。将反比例函数解析式写成的形式，则可一目了然地看出，它是一种特殊的等轴双曲线。关键词：反比例函数，图像与性质，双曲线方程，等轴双曲线“反比例函数的图像与性质”一节课我们前后听过3次。三位老师的讲课各有千秋，我们这里不打算详细比较。只想就其中几个问题稍作探究。1．反比例函数图像画法的教学反比例函数图像的画法无疑是本节课的难点。因为，此前学生只了解一次函数的图像，它和反比例函数图像有着巨大差异。第一，前者是直线，后者是曲线（画图时，直线可由两点确定而曲线再多的点都难以确定）；第二，反比例函数图像不连续，在处间断，而且是其第二类间断点，因而是“双”曲线。这两点差异都是质的差异，对任何学生都有可能构成认知障碍。另一方面，我们认为，反比例函数图像的画法也是本节课的重点。因为函数的性质需要借助图像的直观来显示。函数的每一个性质，图像都有相应的特征；反之，图像的每一个特征，都是函数性质的反映。如果学生不能很好地掌握反比例函数图像的画法，势必难以以掌握函数性质，从而本节课的教学目标就会落空。那么，这个重点加难点应该如何在课堂上落实呢？我们的三位老师所选例题都是“画出反比例函数和的图象”，都通过复习一次函数图像的画法，特别强调了画图像三个重要步骤：列表、描点、连线。列表的方式也完全相同（如下表，同北师大教材完全一致）。…－6－5－4－3－2－1123456……－1－1.2－1.5－2－3－663211.21……11.21.5236－6－3－2－1－1.2－1…其中一位老师还在ppt上用醒目字体打出“注意：①列表时自变量取值要均匀和对称；②x≠0；③选整数较好计算和描点。”我们认为，这一列表方式是存在问题的。首先，－1与1之间不描点是不合适的。因为，从－1到1这一段的图像恰恰是学生最难理解的，也是初学者最易犯错的地方。比如，我们常常见到，有学生在画函数的图象时，直接连接点A（1，6），B（－1，－6），然后将原点改为空心圆圈。建议作如下修改：…－1…0…1……－6－12－24……24126……61224……－24－12－6…并且，讲解时宜向学生提问：当分别取，，…时，的值分别是多少？当取很小很小正数时，的值又如何？当由1变到0时，函数值有何变化规律？想象一下函数在这一段上的大致图像应该是什么样子？其次，类似地，在－6与6两侧不描点也是不合适的。前面提到的一则课例中，学生在做练习题“画出反比例函数和的图象”时，学生列表如下：…－4－3－2－11234……－1－2－4421……124－4－2－1…在部分学生看来，似乎比例系数是几，列表时，最大就应该取几。应当说，这样的想法其实源于老师的“误导”。建议在－6与6两侧也适当描几个点，并且也应当提一些类似于“当很大很大时，函数值将会发生怎样的变化”的问题，以使学生先在直观上感受图像的大致形状，这样他们才有可能深入理解反比例函数的图像与性质。第三，前面提到的“注意：①列表时自变量取值要均匀和对称；②；③选整数较好计算和描点”，其中，①显然欠妥——画函数图象，描点重在描关键点，列表当然重在列关键点的坐标，而关键点坐标一般不会那么均匀；③亦不恰当——有时分数甚至无理数更便于计算，如正弦函数；②则需给出代数解释与几何解释。此外，还有许多问题，如：原点两侧的曲线为什么是分开的？什么叫“函数值随的增大而减小”？连线时为什么要用平滑曲线？画图像...
