1/3安徽大学2010—2011学年第二学期《应用随机过程》考试试卷（A卷）（闭卷时间120分钟）院/系年级__专业姓名学号题号一二三四总分得分一、填空题（每小题4分，共24分）1、设X是概率空间,,FP上的一个随机变量，且EX存在，C是F的子－域，定义EXC如下：1________________；2________________________________________；2、在全数学期望公式EXEEXC中，取X＝____，C＝____，即得连续型（广义）全概率公式___________________；3、设,0Ntt是强度为的Poisson过程，则Nt具有_____、_____增量，且0t，0h充分小，有：0PNthNt＝________，1PNthNt＝_____________；4、设,0Ntt是强度为的Poisson过程，,1nXn、,1nSn分别为其时间间隔序列和等待时间序列，则12,,,,nXXX独立同参数为的指数分布，nS～______，11NtX～_______，12,,,nNtnSSSd_____________________________________；5、设,0Wtt为一维标准Brown运动，则0t，Wt～____，且与Brown运动有关的三个随机过程____________、___________________、______________都是鞅（过程）；6、倒向随机微分方程（BSDE）典型的数学结构为________________________________________，其处理问题的实质在于__________________________________________________.二、证明分析题（共15分，选做一题）1、设X是概率空间,,FP上的非负随机变量，假定X具有密度函数fx满足：,0xRfx.设g是严格递增的可微函数，并满足：limygy，limygy，定义随机变量YgX；设hy是满足1hydy的任一非负函数.我们希望改变概率测得分得分2/3度，使得hy是随机变量Y的密度函数.为此，定义：/hgXgXZfX，（1）证明随机变量Z是非负的且1EZ；（2）定义：,AAAFPAZdPZdP，则随机变量Y在P下具有密度h；2、设,0WttT是概率空间,,FP上的Brown运动，,0tFtT是Brown运动的域流；设,0ttT是一个适应过程，定义：Xt0tudWu，1exp,2ZtXtXXt，0tWtWtudu，并且假设：220TEuZudu；令ZZT，则1EZ；且在概率测度:,APPAZdPAF下，过程,0WttT是一个Brown运动.三、计算证明题（共46分）1、（12分）假设XE～，给定0c，试分别由指数分布的无记忆性、条件密度和AEXIEXAPA，求EXXc；2、（10分）设12,,,nXXX独立同0,1U分布，12max,,,nYXXX，试分别由条件数学期望的直观方法和条件数学期望的一般定义求EXYEXY；3、（6分）乘客按每分钟2人的Poisson流到达车站候车，公交车每5分钟到达一辆，用W表示时间0,5内到达的乘客的候车时间之和；当0t时有车到达，试求EW；4、（8分）设质点做一维标准Brown运动,0Wtt，0a，则，（1）“质点最终到达a”的概率为1；（2）质点到达a的平均时间是aET；5、（10分，选做一题）（1）设,0Wtt表示P下的一维标准Brown运动，定义：expZtuWt，利用Ito-Doeblin公式写出Zt满足的随机微分方程，由此求出mtdefEZt满足的常微分方程，并通过求解其来证明：2expexp2utEuWt；（2）设,0Wtt为标准Brown运动，试由Ito-Doeblin公式得分3/3求解随机微分方程dStStdtStdWt，并求46,EWtEWt.四、应用分析题（共15分，选做一题）（1）设股价遵循几何布朗运动dStStdtStdWt，利率为常数r.定义风险的市场价格为：r以及状态价格密度过程为：21exp2tWtrt；a）证明：dttdWtrtdt；b）设X表示投资者采用组合过程t时其资产组合的价值（自融资组合），即有：dXtrXtdttrStdttStdWt，证明：tXt是鞅；c）设0T是固定的终端时刻，证明：如果投资者从初始资本0X出发，希望在时刻T资产组合价值为VT，其中VT为TF－可测随机变量，则其初始资本必为：0XETVT；（2）试从对冲欧式看涨期权空头的角度导出原生资产遵循几何布朗运动的欧式看涨期权价值的Black-Scholes-Merton偏微分方程，并给出风险中性测度下的定价公式.得分
