1/16第一章乘法公式与因式分解§1.1乘法公式我们知道：222()2abaabb，将公式左边的指数变为3，又有什么结论呢？即3()ab.由于3222()()()(2)()abababaabbab=32222332232233aababababbaababb因此得到和的立方公式3()ab=322333aababb将公式中的b全部改为－b，又得到差的立方公式：3()ab=322333aababb上述两个公式称为完全立方公式，它们可心合写为：3()ab=322333aababb【例1】化简：32(1)(33)xxxx【解】原式=3232331331xxxxxx由完全立方公式可得3()ab2233abab=33ab，即：2()[()3]ababab33ab由此可得立方和公式：22()()abaabb33ab将公式中的b全部改为－b，又得到立方差公式：22()()abaabb33ab〖数学方法归纳〗上述得到立方差公式和差的立方公式过程中，使用了将b改变－b的方法，这种方法称为代换法.是代数中广泛使用的一种方法.应用代换法可扩展公式的形式，拓宽公式的使用范围.【例2】对任意实数a，试比较22(1)(1)(1)(1)aaaaaa与1的大小.2/16【分析】观察式子22(1)(1)(1)(1)aaaaaa的结构特征，可联想立方和（差）公式进行化简.【解】22(1)(1)(1)(1)aaaaaa=22(1)(1)(1)(1)aaaaaa=336(1)(1)1aaa因为61a－1=6a，对任意实数a，6a≤0所以22(1)(1)(1)(1)aaaaaa≤1通过将完全平方公式222()2abaabb中的指数2推广到3，我们得到了完全立方公式，还可以把指数推广到4，5，,，以至一般()nab.另一方面：我们也可以从项数的角度推广：三项和的平方：2222()222abcabcabbcca甚至还可以推广到n项和的平方（在此省略）灵活使用上式，可为代数变形及求值带来方便.〖数学思想方法归纳〗以上从完全平方公式出发，从两个角度：指数和项数进行了推广，这种思维方法称为由特殊到一般的思想.人们对很多问题的认识，往往是先从特殊情况出发，发现一些信息，然后进行一般化，进而发现一般规律.【例3】已知：0abc，12abbcca，求下列各式的值（1）222abc；（2）444abc.【分析】突破问题的关键在于寻找已知式与未知式的联系，联想三项和的平方公式，可得到（1）的解法，进而反复操作可推进到（2）.【解】（1）由2222()222abcabcabbcca可得：2222()2()1abcabcabbcca（2）由12abbcca得：22222221()2()4abbccaabbccaabcabc所以：222222112()44abbccaabcabc3/16而444abc=2222()abc2222222()abbcca=12.【例4】已知210xx，求证：33(1)(1)86xxx【证法一】3332322(1)(1)331(331)62xxxxxxxxx由已知得：21xx，故2626(1)286xxx，因此：33(1)(1)86xxx【证法二】3322(1)(1)(11)[(1)(1)(1)(1)]xxxxxxxx=22222(21121)62xxxxxx以下同证法一.【归纳总结】以上两种证法都用到了整体代换的方法，即2x换为1x；方法二中又把(1),(1)xx分别看作一个整体使用立方差公式.这种整体代换的方法常可找到解题的突破口，并使运算简便.【例5】已知1xy，求333xyxy的值.【解】33222223()()32()1xyxyxyxxyyxyxxyyxy.【例6】已知0abc，且0abc，求222abcbccaab的值.【解】33222333()3()abcabababcabcbccaababcabc 0abc，∴abc；∴上式=33()33ccabcabc.习题1.11．若8,2abab，则33ab=（）A．128B.464C.496D.5122．若0xyz，则333xyz（）4/16A．0B．222xyyzzxC．222xyzD．3xyz3．设33311,6AnBnnn，对于任意n>0，则A，B的大小关系为（）A．A≥BB．A>BC．A≤BD．不一定4．2(5)(255)xxx.5．观察下列各式的规律：22()()ababab2233()()abaabbab322344()()abaababbab可得到11()()nnnnabaababb.6．求函数33(2)yxx的最大值.7．当33x时，求代数式223111242xxxxx的值.8．已知a、b、c为非零实数，2222222()()()abcxyzaxbycz，求证：yxzabc.9．如果37,3511xyxy，求2244xxyy的值.10．已知21()()()4bcabca且0a，求bca的值.§1.2因式分解因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式，它与多项式乘法运算是互逆变形.因式分解在将来学习解方程、解不等式、判断代数式的符号等问题中都要用到.多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，是我们解决许多数学问题的有力工具．主要的方法有____________、____________、___________和____________．把一个多项式因式分解，如果多项式的各项有公因式，就先提取公因式，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式；比如：把zy...
