一元二次方程知识点和经典例题1/5一元二次方程一.基本概念定义：形如：02cbxax（0a）的方程,叫做一元二次方程的一般式.例题：若方程32)1(1xxmm是关于x的一元二次方程，求m的值.二.一元二次方程的解法（1）直接开方法：02cax,开平方求出未知数的值：acx（2）因式分解法：0)(2mnxnmx,因式分解得：0))((nxmx∴mx1，n2x（3）配方法:061232xx,得：242xx,∴222)2(2)2(4xx即：6)2(2x∴621x，622x（4）公式法：解法步骤：○1先把一元二次方程化为一般式；○2找出方程中a、b、c等各项系数和常数的值；○3计算出acb42的值；○4把a,b,acb42的值代入公式;○5求出方程的两个根.例题：解方程：x(x+12)=8x+12解：原方程化简得：01242xx,方程中：a=1,b=4,c=-12=acb42=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64.∴28412644x=42∴原方程根为：21x，2x-6.一元二次方程解法练习题：（1）用直接开方法解一元二次方程：○1(2x-1)2=7○222)43()43(xx○30144)3(2x（2）用因式分解法解一元二次方程：○11)1(3xxx○25x(x-3)=6-2x○32(x+2)(x-1)=(x+2)(x+4)一元二次方程知识点和经典例题2/5○4025)2(10)2(2xx○542)2)(1(xxx○60)4()52(22xx（3）用配方法解一元二次方程：○1x(x+4)=8x+12○226120xx○30223)12(22xx（4）用公式法解一元二次方程：○123520xx○5(3)(1)2xx○112x2-33x+130=0（5）选择适当的方法解下列方程:○122(2)9xx○22299990xx○32(101)10(101)90xx○42690xx○5x(37)2xx○6113111[1()]222323xxxx三.一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式：把acb42叫做一元二次方程：02cbxax（0a）的根的判别式.利用根的判别式可以不解方程判别一元二次方程跟的情况：20(1)00(2)400.bac当时方程有两个不相等的实根；当时方程有两个实数根；当时方程有两个相等的实数根；当的值小于时，即：时方程无实数根例1.不解方程判断下列方程跟的情况：一元二次方程知识点和经典例题3/5（1）08822xx（2）24120xx（3）20232xx解：（1）方程中：a=2,b=-8,c=8，=acb42=(-8)2-4×2×8=64-64=0 =0∴原方程有两个相等的实数根.（2）方程中：a=1,b=4,c=-12，=acb42=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64 >0∴原方程有两个不相等的实数根.（3）方程中：a=2,b=-3,c=2，=acb42=(-3)2-4×2×2=9-16=-7 <0∴原方程无实数根.例2.关于x的一元二次方程（m－1）x2－2（m－3）x＋m＋2＝0有实数根，求m的取值范围.解：当m－1≠0时,即：m1时，该方程是关于x一元二次方程. 原方程有实数根∴0，即：Δ＝［－2（m－3）］2－4（m－1）（m＋2）＝－28m＋440解得：711m∴m的取值范围是711m且m1.例3.求证：关于x的一元二次方程2(2)2(1)10kxkxk－＋＝(k3)总有实数根.证明： 224=[2(1)]4(2)(1)4(3)backkkk且k3，∴总有0∴关于x的一元二次方程2(2)2(1)10kxkxk－＋＝(k3)总有实数根.四.一元二次方程根与系数的关系1.定理：设一元二次方程02cbxax(0a且042acb)的两个根分别为1x和2x，则：ab2x1x；a2x1xc?特别地：对于一元二次方程20xpxq，根与系数的关系为：12xxp；12xxq注：○1此定理成立的前提是0．也就是说必须在方程有实．．数根．．时才可使用.○2此定理在其他一些数学书籍中也叫做韦达定理。2.根与系数关系的应用举例（1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根；例1.已知关于x的一元二次方程x2＋4x－p＝0的一个根是2，求该方程的另一根.一元二次方程知识点和经典例题4/5解：设方程的另一根为1x，则1x+2=-4，∴1x=-6∴方程的另一根为-6.例2.已知方程061142xx有一个根是2，求它的另一个根.解：是它的另一个根是1x，则2·1x=46，∴1x=43∴方程的另一根为43.注：本题也可由1x+2=411求出1x=43（2）已知一元二次方程的两根或两根之和与两根之积，求这个方程；例3.已知一元二次方程的两根分别为54和27，求这个方程.02827102xx.例5.已知两个数的和是5，这两个数的积是6，求这两个数.解：把所求的两个数看做是某个一元二次方程的两个根，根据已知条件可知：1x+52x，1x·62x∴这个一元二次方程为：0652xx，解这个方程得：21x，32x.∴所求的两个数分别为2和3.（4）利用根与系数关系求方程中的未知系数；例6.已知方程0922kxx的一个根是3，求另一根及k的值.例7.已知关...
