微积分基本定理复习课:导数及其应用综合<1）教案目标重点：通过例题讲解复习导数及其应用的知识点，总结各种题型的解法.难点：导数在解决问题中的应用。学生自己对综合题的分析和解决.能力点：数形结合、计算能力、归纳、转化与划归能力、分析问题与解决问题的能力.教育点：提高学生的认知水平，培养学生自己解决问题的能力，为学生塑造良好的数学认识结构.自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻.易错点：对于含参问题分类讨论的标准选择及讨论的完备性。学法与教具1.学法：讲授法、讨论法.2.教具：课件、学案.一、【知识结构】二、【知识梳理】1.利用导数求曲线的切线方程<1）切点处的导数等于切线的斜率<2）切点既在曲线上又在切线上2.利用导数研究函数的单调性与极值、最值<1）<单调性的充分条件>设函数y=f(x>在某个区间内可导,如果f/(x>>0,则f(x>为增函数。如果f/(x><0,导数的四则运算法则曲线的切线的斜率导数的概念函数的瞬时变化率导数的应用导数的运算导数及其应用定积分导数运动的瞬时速度基本初等函数求导曲边梯形的面积变力所做的功定积分的概念简单复合函数的导数函数的单调性研究函数的极值与最值曲线的切线最优化问题的极限微积分基本定理的应用微积分基本定理的含义则f(x>为减函数.<2）<单调性的必要条件>设函数y=f(x>在某个区间内可导,如果f(x>在该区间上单调递增(或递减>,则在该区间内f/(x>≥0(或f/(x>≤0>3.利用导数解决恒成立问题<1）分离变量，然后转化为函数最值问题；<2）利用图像，特别是二次函数问题。4.利用导数证明不等式.首先要构造函数，然后研究函数的单调性，进而转换为函数的最值。5.利用微积分基本定理求图形面积6.利用微积分基本定理求变速运动的位移与路程7.利用微积分基本定理求变力做功三、【范例导航】例1已知函数.(1)若在实数集R上单调递增，求的取值范围。(2)是否存在实数，使在上单调递减？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【分析】本题主要考察函数的单调性与分类讨论的思想，<1）要求的取值范围，由条件转化为在上恒成立问题；<2）是存在性问题，假设存在，利用<1）的方法解决.【解答】<1）由题意知，所以，只要，。<2）假设存在实数，使在上单调递减。则在上恒成立。因此，又因为，所以，【点评】含参数不等式在给定区间上恒成立问题的一般方法是分离参数法，然后转化为函数的最值.【变式】：已知函数.<Ⅰ）求的最小值；<Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.答案：<1）<2）的取值范围是【点评】<1）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。<2）分离参数法是处理参数问题常用的方法，注意灵活运用。【例2】<2018山东高考理22）已知函数<为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．<Ⅰ）求的值；<Ⅱ）求的单调区间；<Ⅲ）设，其中是的导函数．证明：对任意，．【分析】本题主要考察利用导数研究曲线的斜率，求单调区间，求最值及利用导数证明不等式等内容<1）<2）难度不大，但<3）证明不等式需要对复杂的函数进行分开研究，以便降低难度。【解答】<1），<2）记，，所以在，单减，又，所以，当时，，，单增；当时，，，单减.所以，增区间为<0，1）；减区间为<1，.，先研究，再研究。令得，当单调递增；当单调递减；所以，即。记所以在单调递减。所以，，即综上，【点评】本题将函数、导数、方程和不等式的知识融为一体。重点对函数导数中曲线的斜率，求单调区间，求最值及利用导数证明不等式进行了全面考察，要求学生从从整体上把握，从细节处着手，较好的考察了学生的综合素质。【变式】：<2018年海淀一模理）已知函数，<Ⅰ）若，求函数的极值；<Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；(Ⅲ>若在<）上存在一点，使得成立，求的取值范围.【分析】本题主要考察了了函数极值的求法，含参数的函数单调区间的求解，对于含字母参数的不等式进行了必要的分类讨论，特别强调重视定义域在解题中的重要作用。【解答】<Ⅰ）的定义域为，当时，，，1所以在处取得极小值1.<Ⅱ），①当时，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增；②当，即时，在上，所以，函数在上单调递增.
