高三数学大一轮复习 4.8 正弦定理和余弦定理课时检测 理 苏教版VIP免费

4.8正弦定理和余弦定理一、填空题1．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是________．解析由题意和正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc，b2＋c2－a2≥bc，cosA＝≥，所以0＜A≤.答案2．若△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________．解析由(a＋b)2－c2＝4及余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos60°＝(a＋b)2－3ab，所以ab＝.答案3．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.解析由正弦定理，有＝，即sinB＝.又C为钝角，所以B必为锐角，所以B＝，所以A＝.故a＝b＝1.答案14.在△ABC中,已知30,则B等于________.解析根据正弦定理得sin.∴C=45或C=135.当C=45时,B=105;当C=135时,B=15.答案105或155．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC＝________.解析设AB＝a，∴BD＝a，BC＝2BD＝a，cosA＝＝＝∴sinA＝＝由正弦定理知sinC＝·sinA＝×＝.答案6．在△ABC中，若S△ABC＝(a2＋b2－c2)，那么角C＝________.解析根据三角形面积公式得，S＝absinC＝(a2＋b2－c2)，∴sinC＝.又由余弦定理：cosC＝，∴sinC＝cosC，∴C＝.答案7．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝bc＋a2，则角A的大小为________．解析由余弦定理，得cosA＝＝，所以A＝.答案8．已知△ABC中，AB＝2，C＝，则△ABC的周长为________(用含角A的三角函数表示)．解析由正弦定理，得△ABC的周长为a＋b＋c＝＋＋2＝sinA＋sin＋2＝2sinA＋2cosA＋2＝4sin＋2.答案4sin＋29．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．解析不妨设A＝120°，c＜b，则a＝b＋4，c＝b－4，于是由cos120°＝＝－，解得b＝10，S＝bcsin120°＝15.答案1510.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A角大小为________．解析由a2－b2＝bc，c＝2b，得a2＝7b2，所以cosA＝＝＝，所以A＝.答案11.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于,AC的取值范围为.解析设.由正弦定理得∴.由锐角△ABC得0,又0<180,故30cosAC=2cos∴.答案212．△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，那么b＝________.解析由a，b，c成等差数列，得2b＝a＋c.平方得a2＋c2＝4b2－2ac.又△ABC的面积为，且B＝30°，故由S△ABC＝acsinB＝acsin30°＝ac＝，得ac＝6，所以a2＋c2＝4b2－12.由余弦定理cosB＝＝＝＝.解得b2＝4＋2.又因为b为边长，故b＝1＋.答案1＋13．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＋＝6cosC，则＋的值是________．解析利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为＋＝6cosC，由余弦定理得＝6·，即a2＋b2＝c2.而＋＝＝·＝＝＝＝4.答案4二、解答题14．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求A；(2)若B－C＝90°，c＝4，求b.(结果用根式表示)解析(1)由条件，得(b＋c)2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝. 0°