2010省句中复习抛物线（理科）检测一、填空题1．抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为_______________。2．抛物线的焦点坐标是______________。3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为______________。4．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是______________。5．动圆经过点且与直线：相切，则的轨迹方程为。6．边长为1的等边△AOB，O为原点，AB⊥轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程是。7．在抛物线中，以（-1，-1）为中点的弦所在的直线的方程为。8．抛物线顶点在原点，对称轴是坐标轴，焦点在直线上，则抛物线的方程为。9．过抛物线（）焦点，且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若，则抛物线方程为。10．若点A的坐标为（3，2），为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则取得最小值时点的坐标是______________。11．已知圆，与抛物线的准线相切，则__________。12．抛物线y2=2px（p>0）上一点M与焦点F的距离，则点M的坐标是_______。13．抛物线上两点、到焦点F的距离分别是，，若，则线段的中点到轴的距离为。14．抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积为_______________。二、解答题15．.已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5，求抛物线的方程。16．抛物线有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是，斜边长是，求此抛物线方程。17．若抛物线上三点的横坐标城等差数列，求证：该三点的焦半径也成等差数列。18．已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（I）证明为定值；（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。抛物线参考答案一、填空题1．2．3．4．或5．6．7．8．9．10．（2，2）11．212．（p，±p）13．14．二、解答题15．解：若焦点在轴的正半轴上，可设方程为，准线方程为，，又，得或抛物线的方程为或若焦点在轴的负半轴上，可设方程为，准线方程为，，又，得或抛物线的方程为或故抛物线的方程为或16．解：设为抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O，AO边的方程是，则OB边方程为由可得A点坐标为由可得B点坐标为∵∴∵，解得∴所求的抛物线方程为17．证明：设，，是抛物线上的三点，横坐标分别为，焦点为，则，，，成等差数列。18．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由AF＝λFB，即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)．……4分所以FM·AB＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0所以FM·AB为定值，其值为0．……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．|FM|＝＝＝＝＝＋．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．于是S＝|AB||FM|＝(＋)3，由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．
