初三数学一元二次方程考点点拨□江西曾向根一元二次方程是初中数学的重要内容，是中考必考内容之一。在整个中学数学的学习过程中，它起着承前启后的作用。本文通过分析2005年中考试题，例析一元二次方程的六个考点，以便同学们能更好地学习这部分内容。一、一元二次方程的解法例1.（重庆市）解方程。解法1（配方法）：由，得即解法2（公式法）：点拨；一元二次方程的解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法，没有特殊要求一般不用配方法，因为用配方法解方程过程比较复杂。四种解法中，最简便的是因式分解法，公式法是解一元二次方程的通用方法。二、一元二次方程的根的判别式例2.（长沙市）已知一元二次方程。（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围。（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根。解：（1）∵方程有两个不相等的实数根且二次项系数为1∴△＞0即解得（2）∵方程有两个相等的实数根且二次项系数为1∴△＝0点拨：判别式存在的前提条件是所研究的方程必须是一元二次方程。对于二次项系数为字母的方程，不要漏掉题中的隐含条件“二次项系数不为0”。谨慎的做法是：不管对解题后的答案影响与否，在一开始解题时就讨论这个条件。三、一元二次方程的根与系数的关系例3.（包头市）已知关于x的一元二次方程。（1）若x＝1是方程的一个根，求方程的另一个根。（2）若是方程的两个不相等的实数根，且和满足，求m的值。解：（1）设方程的另一个根是，那么，解得（2）∵是方程的两个实数根由，知所以，解得又因，解得，故点拨：解答问题（1）可将x＝1代入原方程，求出m的值，再求另一个根，但不如利用根与系数的关系简便。问题（2）是把所给的代数式经过恒等变形，化为含有与的代数式，然后再利用韦达定理求出和的值，把与的值代入，即可达到求解的目的。题中若涉及一元二次方程两根的情况，一般可首先考虑是否能用根与系数的关系来解。四、分式方程的解法例4.（海南省）解方程解：去分母，得即解得经检验，是原方程的根。故原方程的根是。点拨：解分式方程一般选用去分母法解。解答此题须首先找到最简公分母，原方程两边都乘以，即可将分式方程转化为整式方程。但必须特别注意解分式方程要验根这一关键步骤。例5.（乌鲁木齐市）解方程。解：设，则原方程可化为解得当y＝1时，，此方程无解。当y＝2时，，解得x＝2。经检验，x＝2是原方程的根。∴原方程的根是x＝2点拨：分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解时，再用去分母法解。像该例在结构上有一定特点的分式方程，我们可采用换元法来解。无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。五、简单二元二次方程组的解法例6.（天津市）解方程组解法1：由<1>得把<3>代入<2>，整理后得解这个方程，得把代入<3>，得把代入<3>，得∴原方程组的解是或解法2：原方程组中的x，y可看做一元二次方程的两个根，解得或∴原方程组的解是或点拨：形如的方程组可利用一元二次方程根与系数的关系来解。这类二元二次方程组的解法除代入法、利用根与系数的关系法外，还有加减消元法、因式分解法、换元法等。解题时，要根据方程组的结构特征，灵活恰当地选择方法。六、列方程（组）解应用题例7.（烟台市）四年一度的国际数学家大会会标形状如下图，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积。解：设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，则小正方形的边长为。由题意得，得即小正方形的面积为1。点拨：解应用题应先找到条件中的等量关系，再依此列方程（组）求解。求小正方形的面积，不需要解出a，b的值，而是运用整体代换法求出的值，大大简化了解题步骤。
