初三数学解直角三角形及其应用知识精讲一.本周教学内容：§4.3解直角三角形及其应用知识与技能：1.掌握利用直角三角形的边角关系，求解直角三角形。2.会利用解直角三角形解决实际问题。过程与方法：经历利用解直角三角形解决实际问题的过程，体验用所学的知识解决实际问题。情感、态度与价值观：进一步积累数学活动的经验，并在学习活动中学会与人合作交流。二.重点、难点：1.教学重点：（1）掌握直角三角形中的边角关系。（2）灵活地运用三角函数关系式解直角三角形。（3）理解坡角、坡度、仰角、俯角、方位角等意义，能根据实际问题构建直角三角形的数学模型。2.教学难点：运用解直角三角形的方法解决实际问题，关键是能将实际问题转化为数学问题——解直角三角形。三.主要内容：（一）解直角三角形1.定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。2.直角三角形的边角关系：如图，（3）边角之间的关系：3.解直角三角形的四种基本类型：如下图：已知直角三角形的两个基本元素（至少有一个是边），利用以上关系就可以求出其余的未知元素，其中恰当地选用边角关系是关键。应注意以下原则：（1）有“斜”选“弦”，无“斜”选“切”。（2）尽量使未知元素在分子的位置上，以便利用乘法运算求未知元素。（3）尽量使用原始数据：以减少误差的积累，也可避免由于中间数据有错而产生新的误差。4.几个常用概念：（1）仰角：在测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角。（2）俯角：在测量时，从上向下看，视线与水平线的夹角叫俯角。（3）坡度：（坡比）（如图）坡面的铅直高度（h）和水平长度（l）的比，叫做坡面的坡度。（4）坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。坡度越大，坡角越大，坡面越陡。（5）方向角（如图）OA：北偏东30°OB：东南方（南偏东45°）OC：南偏西70°OD：北偏西60°东西与南北方向线互相垂直。5.运用解直角三角形的方法解决实际问题：基本思路：要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的边角关系。（即构建数学模型：直角三角形），才能运用解直角三角形的方法求解。一般有以下几个步骤：（1）审题：根据题意画出正确的平面图或截面示意图，在图形中弄清已知和未知。（2）将已知条件转化为示意图中的边、角关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题。（3）选择适当关系式解直角三角形。例1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，解直角三角形：（1）a＝8，b＝6（2）c＝16，∠A＝32°分析：略解：例2.如图某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，可以将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，求AC的长度（精确到1cm）。分析：根据题意知，点B离地面的高度是可求的。所以过B作BD⊥AC于D构造直角三角形BCD解直角三角形求出CD，则可求AC。解：如图（2），过B点作BD⊥AC交CA的延长线于D在Rt△BCD中，∠BCD＝12°答：AC的长度为222cm。构造Rt△BCD是解题的切入点，由题意求BD、AD长是解题的关键。例3.如图，湖泊的中央有一建筑物AB，某人在地面C处测得其顶点A的仰角为60°，然后自C处沿BC方向行100m至D点，又测得其顶部A的仰角为30°，求建筑物AB的高。分析：图中CD是已知条件，但不在直角三角形中，根据生活经验知，△ABC、△ABD是Rt△，利用DC＝BD－CB，设AB＝x可求，也可利用角度关系得出CD＝AC，再解Rt△ABC。解：法一：设AB＝x在Rt△ADB中，∠D＝30°在Rt△ABC中，∠ACB＝60°又DC＝BD－BC＝100法二：如图， ∠D＝30°，∠ACB＝60°∴∠D＝∠DAC＝30°∴AC＝DC＝100在Rt△ABC中，∠ACB＝60°答：例4.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝高23米，坝面宽BC＝6米，根据条件求：（1）斜坡AB的坡角α；（2）坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1米）。分析：梯形的问题，首先应作辅助线构造直角三角形，再利用条件解直角三角形。解：分别过B、C两点作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BCFE为矩形∴BE＝CF，BC＝EF（1）在Rt△BAE中，i＝1：3（2）在Rt△ABE中，i＝1：3，BE＝23∴AE＝3BE＝3×23＝69（米）在Rt△CDF中，i＝1：2.5，CF＝BE＝23∴DF＝...
