初三数学有关一次函数和反比例函数综合题学法指导韩树红在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅能考查两个函数的基本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。现以2006年的中考题为例，浅谈这类问题的解法，供参考。一.探求同一坐标系下的图象例1.（2006年韶关市中考题）已知函数与在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.分析：由图知，一次函数中，y随x的增大而增大，所以；反比例函数在第二、四象限，所以。观察各选项知，应选B。评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。例2.（2006年贵港市中考题）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（）A.B.C.D.图2分析：本题可采用排除法。由选项A、B的一次函数图象知，即，则一次函数图象与y轴交点应在y轴负半轴，而选项A、B都不符合要求，故都排除；由选项D的一次图象知，即，则反比例函数图象应在第一、三象限，而选项D不符合要求，故也排除；所以本题应选C。评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。二.探求函数解析式例3.（2006年广东省中考题）如图3，直线与双曲线只有一个交点A（1，2），且与x轴，y轴分别交于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线与双曲线的解析式。析解：因为双曲线过点A（1，2），所以得双曲线的解析式为。因为AD垂直平分OB，A点的坐标为（1，2）。所以B点的坐标为（2，0）。因为过点A（1，2）和B（2，0），所以解得所以直线的解析式为评注：解决本题的关键是确定点B的坐标，由AD垂直OB知，点D和点A的横坐标应相同，所以点D的坐标为（1，0），又AD平分OB知，，所以点B坐标为（2，0），进而求出一次函数解析式。三.探求三角形面积例4.（2006年菏泽市中考题）如图4，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则的面积为（）A.8B.6C.4D.2析解：把代入，得整理得解得把分别代入，得所以点A的坐标为点B的坐标为由题意知，点C的横坐标与点A的横坐标相同，点C的纵坐标与点B的纵坐标相同，所以点C的坐标为（）。因为，所以的面积为故应选A。例5.（2006年武汉市中考题）如图5，已知点A是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么的面积为（）A.2B.C.D.析解：把代入，得，整理得，解得得分别代入得又点A在第一象限内，所以点A的坐标为在中由勾股定理，得所以OB=2。所以的面积为，故应选（C）评注：例4和例5中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标，这是求两函数图象交点坐标的常用方法，蕴含着转化思想。四.探求点的坐标例6.（2006年咸宁市中考题）如图6，直线分别交x轴、y轴于点A，C，点P是直线AC与双曲线在第一象限内的交点，轴，垂足为点B，的面积为4。（1）求点P的坐标；（2）略。析解：在中，令，则；令，则。所以点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，1）。因为点P的直线上，不妨设点P的坐标为所以。又因为所以整理得即解得因为点P在第一象限，所以。故点P的坐标为（2，2）。评注：本题的解答过程蕴含着设元思想、方程思想和转换思想。（初三）
